Resposta de um sistema a uma função de etapa (função Heaviside)

Eu gostaria de calcular a resposta a uma função de etapa de um sistema elétrico / térmico. Geralmente eu posso "facilmente" calcular a função de transferência : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Como a transformação de Fourier ( ) da função Heaviside é (calculada com WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Portanto, observando a transformação Inversa de Fourier: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Para verificar minha matemática, tentei calcular a resposta para um sistema RC simples:

Eu deveria receber a carga bem conhecida do capacitor. A função de transferência:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Calculando a transformação Inversa de Fourier ( ) com WA ( ), obtenho: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Isso seria correto se estivéssemos voltando no tempo: /. Então a pergunta é ... O que estou fazendo de errado?

Fiz o mesmo usando Laplace Transforms e tudo funciona bem ... Mas não entendo o porquê.

PS: Não quero outro método, só quero entender o que há de errado na minha abordagem.

PS: a razão pela qual estou usando WA é que, para o meu sistema mais complicado, preciso calcular as transformadas de Fourier usando WA.

— Worldsheep
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Esta não é a resposta que você está procurando, mas este artigo sobre como fazer uma Transformação Discreta Inversa de Laplace para praticamente qualquer função de transferência pode ser do seu interesse.

— user5108_Dan

Obrigado pelo link interessante! Ainda estou tentando entender por que as transformações de Laplace são necessárias. Ou melhor, por que Fourier não fazer o trabalho ...

— Worldsheep

Você conhece a Laplace Transforms? As transformadas de Laplace e de Fourier são bastante semelhantes, mas eu não sou um matemático bom o suficiente para descrever as diferenças exatas. Os EE normalmente funcionam no domínio s (transformação de Laplace), que seria o mesmo que sua equação H (w) se você substituir substituir jw por s. Além disso, você provavelmente obterá uma resposta melhor se postar esta pergunta no site dsp.stackexchange.com. Esses caras estão em sintonia com essas coisas.

— user5108_Dan

Sim, notei que o EE sempre funciona com Laplace nesses casos e, quando tentei, funcionou bem! Mas intuitivamente, eu usaria Fourier. Vou seguir o seu conselho e vou visitar o outro site!

— Worldsheep

Você pode encontrar uma resposta para esta pergunta aqui: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

O principal motivo provavelmente é devido ao Wolfram Alpha aplicar a transformação inversa de Fourier como uma segunda transformação de Fourier. De fato, fazer isso "inverte o tempo" - como pode ser mostrado matematicamente :

Definindo o operador '' 'flip-time' '' que inverte o tempo, $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

A aplicação da transformação de fourier três vezes ao sistema fornecerá a versão no tempo normal. Como as ondas são consistentes com o tempo, normalmente não importa.

— Marca
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