Resultados inesperados da minha função de transferência

Eu tenho um sistema que pode ser modelado com a seguinte imagem:

Há uma massa $m$ conectada a uma mola $k$ um traço $d$ . Ambos estão conectados a outro dashpot $c$ . Uma força $F(t)$ é aplicada na junção.

Após algum esforço para combater um sistema de ODEs lineares, encontrei uma função de transferência que descreve esse sistema:

\frac{X (s)}{F (s)} = \frac{d s + k}{(m c + m d) s^{3} + (m k + c d) s^{2} + (c k) s}

$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{ds + k}{(mc + md)s^3 + (mk + cd)s^2 + (ck)s}$

Estou quase certo de que isso está correto, considerando que eu verifiquei a matemática várias vezes (e as unidades fazem check-out, o que é sempre uma vantagem).

O sistema possui certos parâmetros: , , Hz. $m = 1$ $Q = 20$ $\omega = 50$

A partir disso, podemos calcular os seguintes parâmetros: N / m, $k = m(2\pi\omega) = 98696$ Ns / m. $d = \frac{sqrt(mk)}{Q} = 15.7$

Estimo Ns / m. $c = 4$

Dados esses parâmetros, espero o seguinte:

Resposta ao impulso que se aproxima assintoticamente de um valor.
Resposta de etapa que cresce sem limite.
Gráfico de Bode que tem um pico em torno de 50 Hz.

Os dois primeiros são verdadeiros, mas é assim que meu gráfico de Bode se parece:

$F(t)$ $\omega$

Existe algo que estou modelando incorretamente aqui? Ou há algum grande equívoco sobre como eu acho que esse sistema opera?

control-engineering dynamics transfer-function

— anonymouse
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Y

$Y$

c

$c$

F

$F$

F

$F$

c

$c$

ω

$\omega$

Y

$Y$

Respostas:

Verificar as unidades é uma excelente maneira de verificar seu trabalho; parabéns por fazer isso. No entanto, o próximo passo para verificar se seus resultados fazem sentido é verificar os limites. No seu caso, você pode usar a intuição física para identificar como o sistema atuaria em frequências muito baixas e como ele agiria sem amortecimento.

$s\rightarrow0$ $\frac{X(s)}{Y(s)}\rightarrow1$ $c\rightarrow0$ $d\rightarrow0$

\frac{X (s)}{F (s)} \to \frac{1}{m s^{2}},

$\frac{X(s)}{F(s)}\rightarrow\frac{1}{ms^2},$

\frac{k}{m s^{2} + k} .

$\frac{k}{ms^2 + k}.$

— Chris Mueller
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c

$c$

d

$d$

\frac{1}{m s^{2}}

$\frac{1}{ms^2}$

s

$s$

lim_{s \to 0} \frac{1}{s} = \infty

$\lim_{s\rightarrow0}\frac{1}{s}=\infty$

\frac{1}{m s^{2}}

$\frac{1}{ms^2}$

A função de transferência parece correta, exceto que os desvios xey dos locais não-estratificados e não como representado na figura. Caso contrário, quando , não haverá espaço para a mola amortecedor . $y=x$ $k$ $d$

Isso precisa ser equiparado a

\frac{1}{c m + d m} \frac{d s + k}{s} \frac{1}{s^{2} + \frac{s w}{Q} + w^{2}}

$\frac{1}{c m+d m}\frac{d s+k}{s}\frac{1}{s^2+\frac{s w}{Q}+w^2}$

Comparando termos, obtemos as duas equações a seguir

w^{2} = \frac{c k}{c m + d m}

$w^2=\frac{c k}{c m+d m}$

\frac{w}{Q} = \frac{c d + k m}{c m + d m}

$\frac{w}{Q}=\frac{c d+k m}{c m+d m}$

Existem 6 variáveis ( , , , , , ), das quais 3 são conhecidas ( , , ). Isso nos deixa com 2 equações e três incógnitas e, portanto, existem várias soluções. $m$ $k$ $d$ $c$ $Q$ $w$ $m$ $Q$ $w$

Uma coisa que notei é que e têm sinais opostos. Isso é um pouco estranho, porque significa que ou deve ter um sinal negativo! (A seguir, uma captura de tela dos cálculos no Mathematica.) $c$ $d$ $c$ $d$

Se , o zero quase cancelará o polo na origem. Essa foi a condição adicional que usei para chegar aos seguintes valores $k << d$

c = \frac{5 π (1 + \sqrt{16000000000 π^{2} - 1599})}{2 - 20000000 π^{2}}

$c=\frac{5 \pi \left(1+\sqrt{16000000000 \pi ^2-1599}\right)}{2-20000000 \pi ^2}$

d = \frac{1 + \sqrt{16000000000 π^{2} - 1599}}{4000000 π}

$d=\frac{1+\sqrt{16000000000 \pi ^2-1599}}{4000000 \pi }$

k = \frac{1}{1000}

$k=\frac{1}{1000}$

Então este é o gráfico Bode com o pico esperado em ~ ou . $314 rad/s$ $50 Hz$

— Suba Thomas
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Obrigado pela resposta. Eu tenho duas perguntas. Primeiro, importa que a mola e o amortecedor tenham comprimento zero quando ? Não é correto supor que o comprimento não esticado da mola seja muito menor que o comprimento característico de e ? Segundo, segui sua análise e parece fazer sentido, mas é negativo. Enquanto isso definitivamente produz o gráfico Bode que eu quero, parece realmente não-físico - o amortecedor fornecerá uma força para aumentar . Vou tentar os valores na minha simulação para ver quais são as respostas de impulso e passo.

y = x

$y = x$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

c

$c$

c

$c$

\dot{y}

$\dot{y}$

— anonymouse

SSS, simplesmente não é possível que uma mola ou amortecedor físico tenha comprimento zero. Este é um modelo de função de transferência, não há nada impedindo x e y de serem iguais; portanto, precisamos apenas garantir o que isso significa fisicamente neste contexto. Posso adicionar a resposta por impulso e passo à resposta, se você quiser que eu faça isso. A resposta ao impulso converge para zero e a resposta ao passo cresce sem limite.

— Suba Thomas

Hum, não tenho certeza se essa resposta ao impulso é o que espero deste sistema. Se eu dar uma força impulso , espero a crescer e, eventualmente, ser atenuados por , e eu espero que a quantidade que talvez experimentar algumas oscilações por causa da primavera. No total, acho que a resposta ao impulso deve convergir para algum valor diferente de zero (e a resposta ao passo deve crescer sem limites). Na verdade, este é o sistema que estou tentando caracterizar, então você acha que preciso de uma mudança no meu modelo real para refletir isso?

F = δ

$F = \delta$

y

$y$

c

$c$

x - y

$x - y$

— Anonymouse

Para elucidar isso ainda mais, o tipo de sistema que estou tentando caracterizar é aquele que, em escala macro, se move como um sistema amortecedor de massa, onde uma força de impulso o move alguma distância, mas eventualmente precisa parar . Em uma microescala, há alguma frequência ressonante modo que, se eu tentar forçar o sistema a se mover com essa frequência, experimentarei oscilações selvagens de alta amplitude. É por isso que configurei o sistema como um amortecedor de mola à direita, mas com um amortecedor de "nível superior" à esquerda.

f

$f$

— Anonymousouse

Meu mal, a resposta de impulso no estado estacionário é realmente um valor negativo diferente de zero.

— Suba Thomas