Sei que essa pergunta é um pouco antiga, mas o Android mudou algumas nos últimos 3 anos, então acho que vale a pena postar esta resposta.
A partir do Android 4.4, há gravação de tela nativa. Você pode usar o ADB em um computador ao qual o telefone está conectado ou há pelo menos uma dúzia de aplicativos para ajudá-lo (alguns com root, outros sem).
Sem raiz , você poderá gravar a tela. Eu não acho que você possa ouvir QUALQUER áudio do seu telefone se não tiver root. No entanto, descobri que um cabo de 3,5 mm a 3,5 mm pode conectar o fone de ouvido do meu telefone ao microfone do meu laptop e o Audacity pode gravar o áudio muito bem. Meu aplicativo favorito para gravação de tela é o Lollipop Screen Recorder (e eu testei até Marshmallow, funciona muito bem). Aqui está um vídeo produzido com essa configuração exata e com o que parece / soa. Eu sou um youtuber de baixa qualidade, mas espero que isso seja uma vitória para a instalação.
Com o root , você poderá encontrar um aplicativo que possa gravar a tela e qualquer áudio produzido pelo seu dispositivo sem cabos ou computadores adicionais. Tenho menos experiência com esses aplicativos, por isso não posso fazer uma boa recomendação, embora eu ache que o Shou.tv deve ser capaz de fazer isso. Shou.tv também pode transmitir, se isso é algo que você deseja fazer.
Não sou desenvolvedor de nenhum aplicativo ou jogo mencionado ou vinculado. Além disso, para constar, todo esse software é gratuito. Um cabo de 8 pés para a conexão de fone de ouvido / microfone pode custar US $ 12, mas é realmente útil ter em mãos mais do que apenas esta tarefa.