Alterando a orientação aplicando torques

Suponha que você tenha um objeto flutuando livremente no espaço. Você tem um vetor para o qual deseja apontar esse objeto e um vetor que representa a direção em que está voltado. A partir desses dois, é possível obter a rotação (matriz, quaternion, qualquer que seja) que representa a mudança na orientação para alinhar os dois vetores.

Se você tem apenas a capacidade de aplicar torque (derivada da velocidade angular) ao seu objeto, o que é um bom algoritmo para aplicar o torque ao longo do tempo que não supera / ultrapassa o destino?

(Nesse caso, é uma nave espacial que deseja se orientar automaticamente na direção da viagem usando propulsores. Roll é irrelevante.)

Isso pode ser tratado como no caso semelhante da aceleração linear.

Primeiro fato a ser observado: como o navio começa com uma velocidade angular de zero, e você deseja que ele termine com uma velocidade angular de zero, isso significa que a mudança total na velocidade deve ser igual a zero.

A partir disso, podemos ver que a integral da aceleração ao longo do tempo deve ser igual a zero - deve haver exatamente tanta aceleração positiva quanto a aceleração negativa.

Portanto, sua solução, seja ela qual for, deve ser restrita a essa propriedade: Aceleração "total" igual para frente e para trás.

Aqui está o seguinte o formato da sua aceleração ao longo do tempo:

Olhando para isso, existem tantas formas e formatos possíveis em que sua aceleração pode estar! Vamos fazer algumas suposições para o formato de aceleração que você deseja, a fim de fornecer uma resposta fácil / concisa.

Por uma questão de resposta simples, terei a aceleração em um dos três estados: para frente, para trás ou zero. Para frente e para trás terão a mesma magnitude e os estados podem ser trocados instantaneamente. (não há aceleração gradual da aceleração)

Você pode encontrar a alteração na distância para uma determinada aceleração durante um determinado período de tempo com esta equação:

s = 0.5*a*t^2

A solução mais simples aqui seria acelerar até chegar ao ponto médio e desacelerar o resto do caminho.

Tomaremos Pcomo a distância total que você deseja mover:

s = P/2
P/2 = 0.5*a*t^2
P = a*t^2
t^2 = P/a
t = sqrt(P/a)

Então, basicamente:

1. Acelere em apara sqrt(P/a)unidades de tempo (unidades baseadas em suas unidades para aceleração)
2. Desacelere na mesma magnitude pela mesma quantidade de tempo

Esta não é a única solução. Você chegará lá no menor tempo possível ( 2*sqrt(P/a)). Mas e se você quiser uma versão mais descontraída?

Nesse caso, você pode acelerar 1/3 do caminho, desacelerar pelo 1/3 e desacelerar o resto do terceiro. Ou 1/4 da costa por 1/2, desacelere 1/4 também.

Ou talvez você possa acelerar por um período fixo e, em seguida, desacelerar por um período fixo, mas espere até chegar à posição exata antes de começar a desacelerar.