Como você calcula o ponto mais próximo em 2 curvas?

Dados os pontos de uma linha e uma curva quadrática de bezier, como você calcula o ponto mais próximo? .... Da mesma forma, dados os pontos de 2 curvas, como você consegue o ponto mais próximo?

Aqui está a minha tentativa. Os algoritmos a seguir estão longe de serem perfeitos , mas são simples e acredito que você deve começar com isso, verificar se eles funcionam na sua situação e mudar para algo mais rápido e / ou mais preciso posteriormente.

A ideia é a seguinte:

• Faça a amostra da curva de Bézier, encontre o ponto mais próximo nessa amostra
• Experimente uma vizinhança em torno do ponto encontrado, encontre um novo ponto mais próximo
• Continue até que o ponto não mude muito

Algoritmo para distância da curva de Bézier à linha

A curva de Bézier é parametrizada por uma função F(t)usando um conjunto de pontos de controle e um parâmetro variável t. O número de pontos de geração não é importante.

A linha é parametrizada por dois pontos Ae B.

1. Deixe SAMPLES = 10por exemplo

2. Comece com t0 = 0et1 = 1

3. Deixei dt = (t1 - t0) / SAMPLES

4. Se dt < 1e-10(ou qualquer outra condição de precisão que você achar conveniente), o algoritmo será concluído e a resposta seráF(t0) .

5. Calcule uma lista de SAMPLES + 1pontos na curva de Bézier:

   • L[0] = F(t0)
   • L[1] = F(t0 + dt)
   • L[2] = F(t0 + 2 * dt)
   • ...
   • L[SAMPLES] = F(t0 + SAMPLES * dt)

6. Descubra qual ponto do Líndice ié o mais próximo da linha. Use qualquer método de distância de ponto / linha que você conhece, por exemplo, a distância quadrada ||AB^L[i]A||² / ||AB||²onde ^denota produto cruzado e ||…||é a distância.

7. Se i == 0, defina i = 1; se i == SAMPLES, definai = SAMPLES - 1

8. Deixe t1 = t0 + (i + 1) * dtet0 = t0 + (i - 1) * dt

9. Volte para a etapa 3.

Algoritmo para distância da curva de Bézier à curva de Bézier

Desta vez, temos duas curvas de Bézier, parametrizadas por F(t)e G(t).

1. Deixe SAMPLES = 10por exemplo

2. Comece com t0 = 0, t1 = 1, s0 = 0es1 = 1

3. Deixei dt = (t1 - t0) / SAMPLES

4. Deixei ds = (s1 - s0) / SAMPLES

5. Se dt < 1e-10(ou qualquer outra condição de precisão que você achar conveniente), o algoritmo será concluído e a resposta seráF(t0) .

6. SE esta é a primeira execução do loop:

   6.1 Calcule uma lista de SAMPLES + 1pontos F( veja acima ).

   6.2 Calcule uma lista de SAMPLES + 1pontos G.

   6.3 Descubra qual par de pontos está mais próximo um do outro.

   6.4 Atualização t0, t1, s0, s1como visto acima.

7. ELSE : alternativamente, calcule uma lista de pontos em F OU uma lista de pontos G, depois encontre qual ponto Festá mais próximo G(s0)e atualiza t0e t1, OU qual ponto Gestá mais próximo F(t0)e atualiza s0e s1.

8. Volte para a etapa 3.

Problemas

Por design, esses algoritmos sempre convergem para um mínimo local. No entanto, não há garantia de que eles convergirão para a melhor solução. Em particular, o algoritmo de curva de Bézier não é muito bom e, no caso de duas curvas estarem próximas umas das outras em muitos lugares, você pode, infelizmente, perder a solução a longo prazo.

Mas como eu disse, antes de começar a pensar em soluções mais robustas, você deve primeiro experimentar essas simples.

1) Traduza tudo para um eixo, portanto, em vez de precisar calcular o comprimento de um ponto para, a 'linha', a 'linha' é, por exemplo, o eixo Y.

Então, dada uma curva mais bezier, eu diria que depende do número de pontos de controle.

Se houver três (início, 'controle' e fim), eu faria algum tipo de verificação (digamos cada um por cento e depois refino entre os mais próximos (digamos, uma abordagem 'binária').

Mais pontos que eu experimentaria o casal mais próximo do (eixo Y traduzido).

Tenho certeza de que um cara de matemática pode lhe dar a solução exata (em matemática), mas se você quiser encontrar a solução / em um videogame, poderá estar melhor com uma solução ligeiramente boa, pois a solução real pode conter várias respostas ( Nem estou falando de poder de processamento).

Algumas respostas da página do blog Algorithmist , que encontra corretamente o ponto mais próximo na curva quadrática de bezier.

Demo .

Para a curva de Bezier - caixa reta, a maneira mais precisa de encontrar a resposta é fazer o seguinte:

1. Transforme o problema para que a linha reta seja sempre horizontal em Y = 0. Isso é feito multiplicando todos os pontos de controle por uma matriz afim apropriada. (Presumo que você esteja familiarizado com a representação de transformações afins do plano com matrizes 3x3 com 3 entradas fixas.)
2. Inspecione as coordenadas Y dos pontos de controle. Se eles não tiverem o mesmo sinal, pode haver uma interseção com a linha. Calcule as raízes da parte Y da curva de Bezier. Você pode usar qualquer método de localização de raiz para polinômios, existem muitos na literatura. Por exemplo, google "marcha convexa do casco" - esse é um método razoavelmente bom para os polinômios usados ​​nas curvas de Bezier. Cada raiz encontrada é o valor temporal de uma interseção com a linha, onde a distância é zero - seu trabalho é feito.
3. Se todas as cordas Y tiverem o mesmo sinal, calcule a derivada da parte Y da curva de Bezier. Você pode ignorar as coordenadas X dos pontos, pois elas não fazem diferença - a linha de destino é horizontal. Encontre as raízes desse derivado. Esses são os valores de tempo nos quais a curva está localmente mais próxima da linha.
4. Avalie explicitamente a curva de Bezier para todas as raízes encontradas na etapa anterior e relate a raiz que fornece a menor distância da linha. Você também precisa verificar os pontos de extremidade - eles podem dar uma distância menor do que qualquer raiz.