Como faço para converter entre dois sistemas de coordenadas 2D diferentes?

Estou tentando converter uma coordenada de um sistema de coordenadas para outro, para que eu possa desenhar em uma imagem.

Basicamente, o sistema de coordenadas de destino é o seguinte:

X range: 0 to 1066
Y range: 0 to 1600

(apenas uma imagem padrão na qual estou desenhando com o tamanho de 1066 x 1600)

A posição que estou tentando desenhar na imagem tem exatamente o mesmo tamanho, mas o sistema de coordenadas é diferente. O período de todas as coordenadas é 1066x1600.

Mas um exemplo de coordenadas seria:

(111.33f, 1408.41f)
(-212.87f, 1225.16f)

O alcance deste sistema de coordenadas é:

X range: -533.333 to 533.333
Y range: 533.333 to 2133.333

Eu sinto que isso é matemática MUITO simples, mas por alguma razão eu não estou entendendo.

Como posso converter as coordenadas fornecidas no primeiro sistema de coordenadas?

Você pode normalizar o primeiro valor, isso fornecerá um valor no intervalo [0,1]. Você pode pensar nisso como X porcentagem, a porcentagem que o valor é mapeado entre os valores mínimo e máximo. Em seguida, você pode descobrir onde essa porcentagem pertence ao seu sistema de coordenadas de destino, vendo qual valor é X porcentagem no sistema de destino. Vou usar o código Java como uma linguagem de exemplo. Tenho certeza de que os conceitos são claros o suficiente para traduzir para qualquer linguagem.

Então normalize:

public static float normalize(float value, float min, float max) {
    return Math.abs((value - min) / (max - min));
}

Usando seu exemplo, você inseriu:

xPercent = normalize(x,0,1066);

Em seguida, encontre onde está o sistema de destino. Com algo como

destX = xPercent*(Math.abs(max-min)) + min;

Ou para usar seus valores:

destX = xPercent*(Math.abs(533.33--533.33)) + -533.33;

Assim, por exemplo, com um valor x de 1000, você mapeará isso para o seu sistema de coordenadas de destino 467.29.

Como alternativa , se os sistemas de coordenadas sempre forem os mesmos, você poderá pré-calcular a proporção entre eles.

Assim:

xRatio = (Math.abs(srcMax-srcMin))/(Math.abs(destMax-destMin));

destX = x*xRatio+destMin;

É uma matemática simples:

res = ( src - src_min ) / ( src_max - src_min ) * ( res_max - res_min ) + res_min

src - sistema de coordenadas de origem

res - sistema de coordenação de resultados

Editar - explicação da matemática

( src - src_min ) / ( src_max - src_min )converte-o para coordenar o sistema começando em zero com o mesmo comprimento do sistema de coordenadas de origem (0.0, src_max - src_min ). Em seguida, ele escala o valor para coordenar o sistema (0.0, 1.0).

* ( res_max - res_min ) isso dimensiona o valor para coordenar o sistema começando em zero com o comprimento do sistema de coordenação de resultados (0.0, dst_max - dst_min)

+ res_min converte valor no sistema de coordenadas resultante (dst_min, dst_max)

A equação básica para a transformação de coordenadas 2D (em álgebra, sem rotação envolvida) é:

TargetCoordinate = TranslateFactor + ScalingFactor*SourceCoordinate

dado dois pontos no TargetCoordinate (T1, T2) que corresponde a dois pontos no SourceCoordinate (S1, S2) TranslateFactore ScalingFactoré dado resolvendo:

T1 = TranslateFactor + ScalingFactor*S1
T2 = TranslateFactor + ScalingFactor*S2

qual resultado:

TranslateFactor = (T2*S1 - T1*S2) / (S1 - S2)
ScalingFactor   = (T2 - T1) / (S2 - S1)

No seu caso, para a coordenada x

S1 = 0    -> T1 = -533.333
S2 = 1066 -> T2 = 53.333

E assim,

TranslateFactor = -533.333
ScalingFactor   = 1.000625
=> TargetCoordinate = (-533.333) + (1.000625)*SourceCoordinate

As coordenadas y seguem o mesmo procedimento

Fazendo algumas suposições:

• Você está (eventualmente) interessado em uma implementação da matriz, por conveniência e poder; e
• Você está familiarizado com coordenadas homogêneas.

Em seguida, a pergunta migra para: Qual é a matriz de transformação homogênea para minha mudança de base?

Para responder a isso, precisamos primeiro das respostas para três perguntas subsidiárias:

1. Para onde minha origem se mudou?
2. O que aconteceu com o meu eixo X? Sejam (M11, M12) as coordenadas do ponto
3. O que aconteceu com o meu eixo Y?

Defina as respostas para estas três perguntas da seguinte forma:

1. (M31, M32) são as coordenadas da nova origem no sistema de coordenadas original.
2. (M11, M12) são as coordenadas do novo vetor x da unidade no sistema de coordenadas original.
3. (M21, M22) são as coordenadas do novo vetor y da unidade no sistema de coordenadas original.

Então a matriz de transformação homogênea é:

( M11, M12,  0 )
( M21, M22,  0 )
( M31, M32,  1 )

Minha convenção aqui é que os pontos são representados por vetores de linha, que é a convenção normal de computação gráfica; os matemáticos e físicos costumam usar o opsoso.