Como faço para converter entre dois sistemas de coordenadas 2D diferentes?


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Estou tentando converter uma coordenada de um sistema de coordenadas para outro, para que eu possa desenhar em uma imagem.

Basicamente, o sistema de coordenadas de destino é o seguinte:

X range: 0 to 1066
Y range: 0 to 1600

(apenas uma imagem padrão na qual estou desenhando com o tamanho de 1066 x 1600)

A posição que estou tentando desenhar na imagem tem exatamente o mesmo tamanho, mas o sistema de coordenadas é diferente. O período de todas as coordenadas é 1066x1600.

Mas um exemplo de coordenadas seria:

(111.33f, 1408.41f)
(-212.87f, 1225.16f)

O alcance deste sistema de coordenadas é:

X range: -533.333 to 533.333
Y range: 533.333 to 2133.333

Eu sinto que isso é matemática MUITO simples, mas por alguma razão eu não estou entendendo.

Como posso converter as coordenadas fornecidas no primeiro sistema de coordenadas?


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Se os dois sistemas de coordenadas tiverem os mesmos vetores de base, você pode simplesmente usar um fator de escala. Se eles não tiverem os mesmos vetores de base, é necessária uma alteração de base .
Thalador

Respostas:


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Você pode normalizar o primeiro valor, isso fornecerá um valor no intervalo [0,1]. Você pode pensar nisso como X porcentagem, a porcentagem que o valor é mapeado entre os valores mínimo e máximo. Em seguida, você pode descobrir onde essa porcentagem pertence ao seu sistema de coordenadas de destino, vendo qual valor é X porcentagem no sistema de destino. Vou usar o código Java como uma linguagem de exemplo. Tenho certeza de que os conceitos são claros o suficiente para traduzir para qualquer linguagem.

Então normalize:

public static float normalize(float value, float min, float max) {
    return Math.abs((value - min) / (max - min));
}

Usando seu exemplo, você inseriu:

xPercent = normalize(x,0,1066);

Em seguida, encontre onde está o sistema de destino. Com algo como

destX = xPercent*(Math.abs(max-min)) + min;

Ou para usar seus valores:

destX = xPercent*(Math.abs(533.33--533.33)) + -533.33;

Assim, por exemplo, com um valor x de 1000, você mapeará isso para o seu sistema de coordenadas de destino 467.29.

Como alternativa , se os sistemas de coordenadas sempre forem os mesmos, você poderá pré-calcular a proporção entre eles.

Assim:

xRatio = (Math.abs(srcMax-srcMin))/(Math.abs(destMax-destMin));

destX = x*xRatio+destMin;

Por que Java (C #)? Ele não pediu para o código Java :)
kravemir

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É para dar um exemplo. Ele não precisa ser usado como está e o conceito é claro o suficiente.
MichaelHouse

Mas se eu fizer isso: destX = xPercent * (Math.abs (533.33-533.33)) + -533.33; Eu sempre recebo um valor negativo, e o sistema de coordenadas do resultado é apenas de 0 a 1066, devo mudar todas as coordenadas?
Geesu 18/07/12

Troquei-os e ainda estou recebendo o dump.tanaris4.com/sota.png, como em outro post, talvez esteja tendo outro problema (relacionado a C # e desenho). Obrigado rapazes!
Geesu 18/07/12

Entendi, por alguma razão, eu tinha que fazer xPercent = 1.0f - xPercent
Geesu

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É uma matemática simples:

res = ( src - src_min ) / ( src_max - src_min ) * ( res_max - res_min ) + res_min

src - sistema de coordenadas de origem

res - sistema de coordenação de resultados

Editar - explicação da matemática

( src - src_min ) / ( src_max - src_min )converte-o para coordenar o sistema começando em zero com o mesmo comprimento do sistema de coordenadas de origem (0.0, src_max - src_min ). Em seguida, ele escala o valor para coordenar o sistema (0.0, 1.0).

* ( res_max - res_min ) isso dimensiona o valor para coordenar o sistema começando em zero com o comprimento do sistema de coordenação de resultados (0.0, dst_max - dst_min)

+ res_min converte valor no sistema de coordenadas resultante (dst_min, dst_max)


Pensei isso também, mas não é exibido corretamente: dump.tanaris4.com/sota.png A cota final deve bater onde o círculo branco está no fundo
Geesu

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Isso não explica nada de matemática, por que não? :)
MichaelHouse

@ Byte56 Para mim é a fórmula suficiente para entender alguma coisa, especialmente se ele usa apenas operações aritméticas, mas eu adicionei explicação para as pessoas que precisam dele :)
kravemir

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@ Geesu Então você provavelmente está fazendo outra coisa ruim (renderizando matrizes?).
Kravemir

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Obrigado por atualizar isso. Geralmente, acho melhor dar uma resposta que tente explicar o porquê. Caso contrário, você está apenas dando a resposta a esta pergunta, em vez de como resolvê-la e problemas semelhantes. É uma coisa do tipo "dê um peixe a um homem, ensine um homem a pescar".
MichaelHouse

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A equação básica para a transformação de coordenadas 2D (em álgebra, sem rotação envolvida) é:

TargetCoordinate = TranslateFactor + ScalingFactor*SourceCoordinate

dado dois pontos no TargetCoordinate (T1, T2) que corresponde a dois pontos no SourceCoordinate (S1, S2) TranslateFactore ScalingFactoré dado resolvendo:

T1 = TranslateFactor + ScalingFactor*S1
T2 = TranslateFactor + ScalingFactor*S2

qual resultado:

TranslateFactor = (T2*S1 - T1*S2) / (S1 - S2)
ScalingFactor   = (T2 - T1) / (S2 - S1)

No seu caso, para a coordenada x

S1 = 0    -> T1 = -533.333
S2 = 1066 -> T2 = 53.333

E assim,

TranslateFactor = -533.333
ScalingFactor   = 1.000625
=> TargetCoordinate = (-533.333) + (1.000625)*SourceCoordinate

As coordenadas y seguem o mesmo procedimento


S1 e S2 não podem ter a mesma coordenada x / y que leva a uma divisão por zero.
Zwcloud

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Fazendo algumas suposições:

  • Você está (eventualmente) interessado em uma implementação da matriz, por conveniência e poder; e
  • Você está familiarizado com coordenadas homogêneas.

Em seguida, a pergunta migra para: Qual é a matriz de transformação homogênea para minha mudança de base?

Para responder a isso, precisamos primeiro das respostas para três perguntas subsidiárias:

  1. Para onde minha origem se mudou?
  2. O que aconteceu com o meu eixo X? Sejam (M11, M12) as coordenadas do ponto
  3. O que aconteceu com o meu eixo Y?

Defina as respostas para estas três perguntas da seguinte forma:

  1. (M31, M32) são as coordenadas da nova origem no sistema de coordenadas original.
  2. (M11, M12) são as coordenadas do novo vetor x da unidade no sistema de coordenadas original.
  3. (M21, M22) são as coordenadas do novo vetor y da unidade no sistema de coordenadas original.

Então a matriz de transformação homogênea é:

( M11, M12,  0 )
( M21, M22,  0 )
( M31, M32,  1 )

Minha convenção aqui é que os pontos são representados por vetores de linha, que é a convenção normal de computação gráfica; os matemáticos e físicos costumam usar o opsoso.


Um sistema de coordenadas pode ser descrito por essa matriz: M11 = Xaxis.X, M12 = Xaxis.Y, M21 = Yaxis.X, M22 = Yaxis.Y, M31 = origem.X, M32 = origem.Y. Dada uma matriz de sistema de coordenadas A e uma matriz de sistema de coordenadas B, P * A * Inversa (B), onde P é a representação de um ponto como coordenadas em A, produz a representação do ponto como coordenadas em B.
Jim Balter
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