No caso da gripe, isso depende da tensão da mesma. O tipo específico de doença que transmite de humanos para animais e o contrário é chamado de Doença Zoonótica. De acordo com o PetMD :
O potencial para zoonose depende de uma variedade de fatores, incluindo clima, geografia, densidade populacional, condições sanitárias (ou falta dela), hábitos de higiene e outros fatores.
Algo como a gripe suína é um bom exemplo e o artigo vinculado fornece muito mais.
No caso dos furões e da gripe, é possível transmitir a eles, geralmente, somente humanos. É por isso que os furões são comumente usados em estudos porque seu sistema imunológico é semelhante ao nosso. Da Wikipedia :
Por compartilharem muitos aspectos anatômicos e fisiológicos com os seres humanos, os furões são amplamente utilizados como sujeitos experimentais em pesquisas biomédicas, em áreas como virologia, fisiologia reprodutiva, anatomia, endocrinologia e neurociência.
Para realmente responder à sua pergunta: Em geral, não. Mas existem outros fatores (como a cepa específica de uma doença) que podem fazer com que você transmita sua doença ao seu animal. Se não tiver certeza, acho que você deve tentar se distanciar do animal ou, no mínimo, tentar evitar contaminar a comida deles.