De que maneira o suporte da lente limita a abertura máxima possível de uma lente?

Em muitas respostas a perguntas sobre diferentes aspectos de lentes de abertura realmente grandes, é apontado que o suporte da lente define um limite rígido na abertura máxima possível das lentes para a câmera (por exemplo, aqui e aqui ). Isso pode muito bem ser verdade, mas eu realmente não consigo visualizar o motivo.

A meu ver, a limitação tem a ver com a abertura que bloqueia fisicamente a luz. Eu fiz um desenho para demonstrar isso:

O raio inferior atinge o suporte da lente e não consegue chegar ao sensor. A abertura máxima é neste caso limitada pelo tamanho do suporte da lente.

Apresentando uma lente divergente

Isso não deve ser um problema, já que a óptica complexa (que são as lentes da câmera) pode permitir que o sistema converja os raios de luz em um plano na frente do plano da imagem e use uma lente (negativa) divergente para mover o plano do foco de volta ao plano do sensor / filme sem que a luz interfira nas paredes do suporte da lente.

O desenho a seguir usa essa lente divergente e, ao fazer isso, aumenta a abertura máxima possível, apesar do fato de a montagem da lente permanecer a mesma:

Isso é possível desde que você não esteja próximo do limite físico definido pelo índice de refração. Lentes com distância focal muito curta lidam com esse problema o tempo todo e não acredito que essa seja a razão pela qual o suporte da lente atua como um limite rígido da abertura máxima.

Também pode ser o fato de que os elementos corretivos necessários quando a abertura fica muito grande degrada a qualidade demais ou fica muito cara. Porém, isso não define um limite rígido, mas um limite flexível devido a compromissos.

Há algo que eu perdi? Existe realmente um limite rígido estabelecido pelo suporte em relação à abertura máxima possível de um sistema de lente e câmera? Se existe um limite, o que está causando isso?

Existem dois limites rígidos para a velocidade da lente:

O primeiro é um limite termodinâmico. Se você pudesse fazer uma lente arbitrariamente rápida, poderia apontá-la para o sol e usá-la para aquecer seu sensor (não é uma boa ideia). Se o sensor ficar mais quente que a superfície do Sol, você estará violando a segunda lei da termodinâmica .

Isso define um limite rígido em f / 0,5, que pode ser derivado da conservação do etendue . Bem, tecnicamente, é mais parecido com o T / 0.5. Você pode criar lentes com números f menores que 0,5, mas elas não serão tão rápidas quanto sugerem seus números f: elas funcionarão apenas a distâncias macro (com números f "efetivos" maiores que 0,5) ou fique tão aberrado que seja inútil para a fotografia (como algumas lentes usadas para focalizar raios laser, que podem focar com segurança apenas um ponto no infinito no eixo).

O segundo limite é a montagem. Isso limita o ângulo do cone de luz que atinge o sensor. Seu truque de usar um elemento divergente não funciona. Você certamente obter uma pupila de entrada mais larga, mas então você tem uma combinação de lente que tem uma maior distância focal do que a lente inicial. Na verdade, seu truque é muito popular: é chamado de design de " telefoto ". Lente maior, mesmo número f.

Se a montagem da lente permitir um ângulo máximo α para o cone de luz, a lente mais rápida possível terá um número f igual a

N = 1 / (2 × sin (α / 2))

ou, equivalentemente, N = 1 / (2 × NA), onde NA é a abertura numérica . Essa fórmula também mostra o limite rígido em 0,5: sin (α / 2) não pode ser maior que 1. Ah, se você tentar derivar essa fórmula usando aproximações de ângulo pequeno, obterá uma tangente em vez de um seno. Aproximações de ângulo pequeno não são boas para lentes muito rápidas: você deve usar a condição de seno de Abbe .

A mesma ressalva sobre números f vs números T se aplica a este segundo limite. Você pode obter uma lente com um número f menor que 1 / (2 × sin (α / 2)), mas ela funcionará apenas como macro e o número f corrigido pelos foles ainda será maior que o limite.

Derivação

Esta seção, adicionada em 26 de novembro, destina-se aos inclinados matematicamente. Fique à vontade para ignorá-lo, pois os resultados relevantes já foram mencionados acima.

Aqui presumo que usamos uma lente sem perdas (isto é, conserva a luminância) para focalizar a luz de um objeto de luminância uniforme L em um plano de imagem. A lente é cercada pelo ar (índice 1), e observamos a luz caindo em uma área infinitesimal d S em torno e perpendicular ao eixo óptico. Esta luz está dentro de um cone de abertura α. Queremos calcular a iluminância entregues pela lente em d S .

Na figura abaixo, os raios marginais, em verde, definem o cone de luz com α abertura, enquanto que os principais raios, em vermelho, definem a área alvo d S .

O valor final do feixe luminoso que ilumina d S é

d G = d S ∫ cosθ dω

onde dω é um ângulo sólido infinitesimal e a integral está acima de θ ∈ [0, α / 2]. A integral pode ser calculada como

d G = d S π 2π cosθ senθ dθ
      = d S π d (sin ² θ)
      = d S π sen ² (α / 2)

A iluminância no plano da imagem é então

I = L d G / d S = L π sen ² (α / 2)

Agora podemos definir a "velocidade" da lente como sua capacidade de fornecer iluminação no plano da imagem para uma dada luminância do objeto, ou seja,

velocidade = I / L = d G / d S = π sen ² (α / 2)

Vale ressaltar que esse resultado é bastante geral, pois não se baseia em nenhuma suposição sobre as qualidades de imagem da lente, seja ela focada, aberrante, sua fórmula óptica, distância focal, número f, distância do assunto etc.

Agora eu adicionar alguns pressupostos extras que são úteis para ter uma noção significativa de f-number: Eu supor que esta é uma lente boa imagem da distância focal f , f-number N e pupila de entrada de diâmetro p  =  f / N . O objeto está no infinito e o plano da imagem é o plano focal. Então, a área infinitesimal d S sobre o plano de imagem é conjugado com uma porção infinitesimal do objecto ter um tamanho sólido-angular dΩ = d S / f  ² .

Tendo em conta que a área da pupila de entrada é π p  ² /4, a endue pode ser calculado no lado do objecto como

d G = dΩ π p  ² /4
      = dS π p  ² / (4 f  ² )
      = dS π / (4 N  ² )

E assim, a velocidade da lente é

velocidade = π / (4 N  ² )

Igualar isso à velocidade calculada no lado da imagem gera

N = 1 / (2 sin (α / 2))

Devo insistir aqui no fato de que as últimas suposições que fiz (a lente é uma lente de imagem adequada focada no infinito) são necessárias apenas para relacionar a velocidade ao número f. Eles não são necessários para relacionar a velocidade com o pecado (α / 2). Portanto, sempre há um limite rígido para a rapidez com que uma lente pode ser, enquanto o número f é limitado apenas na medida em que é uma maneira significativa de medir a velocidade da lente.

Eu acho que você respondeu sua própria pergunta, não há limite rígido como tal.

Se você realmente quisesse, poderia ter uma abertura enorme e usar lentes corretivas para trazer tudo para os sensores, mas você tem dois problemas:

• geralmente o preço sobe para o quadrado do tamanho do copo, pois isso custaria muito
• a qualidade da imagem sofreria.

Então, teoricamente, não há limite rígido, apenas se torna muito difícil / impraticável criar uma lente que realmente possa ser comprada.