Esta não é uma resposta verdadeira, mas uma expansão no cálculo de padrões de difração a partir da resposta do @ whuber .
Primeiro, temos a integral de difração. A função L p descreve a amplitude do complexo no plano de observação a uma distância ( x p , y p ) a partir do eixo óptico, e uma distância L Z a partir da fonte (algum tipo de objecto de difracção, por exemplo, do furo de pino, de abertura da câmara, etc. ) U s é uma função que descreve a amplitude complexa no plano de origem; para um orifício extremamente pequeno, você pode usar uma função dirac delta . A terceira variável em U s é 0 porque por conveniência dizemos que o objeto de difracção é a origem do sistema de coordenadas. As variáveis x se y está em seus argumentos como escriturário pelo fato de que o objeto pode ter algum tamanho no plano x – y .
Isso pode não parecer uma integral tão terrível, mas k e r sp são apenas uma notação para algo maior:
Integrar uma função a um radical com termos quadrados, tanto no numerador de e quanto no denominador, é uma integral muito desagradável.
Um simplifica a integral removendo as raízes quadradas usando a representação em série binomial e truncando termos de ordem superior. A integral Fraunhofer é válida quando é necessário 2 termos; a integral de Fresnel é para quando é necessário 3 termos. Há alguma nuanuce na prova disso, mas está fora do escopo disso.
Quando começamos a manipular essas coisas para obter as integrais de difração de Fresnel e Fraunhofer, obtemos três quantidades.
Se Nfd * ( θ d ) 2 << 1, a integral de Fresnel é válida. Se isso for verdade e Nfs << 1, a integral Fraunhofer é válida.
As duas integrais são:
Fresnel:
Fraunhofer:
Onde
,
e ν x e ν y são o tamanho da fonte em uma dada dimensão dividido pelo comprimento de onda da luz vezes a distância para a fonte. Normalmente, seria escrito ν s = d / ( λx s ).
Para responder à pergunta do @ whuber sobre por que você pode precisar de um ou outro, apesar do que a Wikipedia afirma, requer um pouco de reflexão.
O comentário "no plano focal de uma lente de imagem ..." provavelmente é retirado de um livro didático, e a implicação é que a fonte da difração (isto é, o orifício, a fenda, o que for - essas equações são agnósticas quanto à geometria da a fonte) está muito longe. Infelizmente, não apenas a lente pode estar a uma distância e mais próxima do que a integral Fraunhofer permite, mas a difração também se origina dentro do sistema de lentes para uma câmera.
O modelo correto para difração da abertura de uma câmera é uma abertura de n lados ( n é o número de lâminas de abertura na lente) iluminado por uma fonte pontual no local da coisa na imagem que produz o padrão de explosão estelar.
Quando os objetos estão realmente distantes (alguns metros seriam bons), as fontes pontuais se comportam como se fossem ondas planas e as derivações realizadas na Wikipedia são boas.
Por exemplo, a abertura para uma lente gauss dupla de 50 mm é da ordem de 40 ~ 60 mm a partir do plano da imagem. Ele é fotografado por duas lentes atrás da parada física a uma distância maior que essa (esse é o local da pupila de saída), mas a pupila de saída não é onde as funções U s ( x s , y s , 0) estão. centrado!
Para 500 nm e uma luz de abertura com raio de 1 mm, podemos verificar se a integral Fraunhofer é válida. É igual a (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ) ou 40, que é >> 1 e a integral Fraunhofer é inválida. Para luz visível, desde que a parada de abertura seja da ordem de milímetros do detector, os Nfs nunca estarão próximos de 1, muito menos muito menores.
Essas equações podem diferir um pouco das da Wikipedia; Eu faria referência ao OPT 261, Interferência e Difração no Instituto de Ótica da Universidade de Rochester, ministrado pelo professor Vamivakas. As equações em Optics da Hecht devem ser bastante semelhantes. As equações são para a amplitude complexa ; para obter a irradiância (também conhecida como intensidade ou brilho), você levaria a magnitude ao quadrado do resultado.
