O oráculo no algoritmo de Grover precisa conter informações sobre a totalidade do banco de dados?

O algoritmo de Grover é frequentemente descrito como uma maneira de pesquisar um banco de dados em $O(\sqrt{N})$tempo. Para usá-lo, precisamos de um oracle gate que represente alguma função$f$modo que$f^{-1}(1)$seja a resposta. Mas como você realmente faz um "oráculo de banco de dados"?

Suponha que eu tenho uma matriz de números $a$ que contém $w$ exatamente uma vez e preciso encontrar o índice de $w$ . Em um computador clássico, eu carregava a matriz na memória e percorria-a até encontrar $w$ .

Por exemplo, se $a = [3, 2, 0, 1, 2, 3]$ e $w = 0$ , I esperar obter 2 como a resposta (ou 3 em 1-indexação).

Como eu represento essa matriz em um computador quântico e faço um gate que retorna $a_x$ para algum $x$ ?

Em particular, você precisa ter a totalidade do "banco de dados" na memória quântica (assumindo que existem algumas maneiras de acessar registros clássicos a partir de portas quânticas)?

$\newcommand{\xtarget}{\boldsymbol{x}_{\operatorname{target}}}\newcommand{\bs}[1]{{\boldsymbol #1}}\newcommand{\on}[1]{{\operatorname{#1}}}$Não, não tem.

O " oráculo " no algoritmo de Grover é uma função que, dado qualquer elemento , verifica se é o elemento que estamos procurando, digamos . Para fazer isso, o oracle não precisa de nenhum conhecimento de todos os outros elementos que estão no banco de dados .x k x alvo x j$\boldsymbol x_k$$\boldsymbol x_k$$\xtarget$$x_j$

Pode ajudar a considerar um exemplo mais concreto. Digamos que você tenha um banco de dados com números de telefone de quatro dígitos, com indicando o elemento nesse banco de dados. Você está interessado em saber qual posição no banco de dados corresponde ao elemento . Vamos supor que o elemento 10000 do banco de dados seja o único elemento, ou seja, e para todos os .x k k 1234 x 10000 = 1234 x k ≠ 1234 k ≠ $20000$$\boldsymbol x_k$$k$$1234$$\bs x_{10000}=1234$$\bs x_k\neq 1234$$k\neq10000$

No caso clássico, sendo o banco de dados não classificado, não há maneira melhor do que passar por todos os elementos do banco de dados, comparando cada um com o alvo . Para fazer isso, você só precisa ter um algoritmo que, dado , retorne se e caso contrário. Uma maneira equivalente de afirmar esse problema é dizer que queremos um algoritmo que, dada uma lista de pares , retorne o par de modo que é o que queremos. Assim, no nosso caso, queremos um algoritmo que, retornex k sim x k = 1234 não { ( k , x k ) } 20000 k = 1 x k { ( k , x k ) } 20000 k = 1 ( 10000 , x 10000 = 1234 ) x$1234$$\bs x_k$$\on{yes}$$\bs x_k=1234$$\on{no}$$\{(k,\bs x_k)\}_{k=1}^{20000}$$\bs x_k$$\{(k,\bs x_k)\}_{k=1}^{20000}$$(10000,\bs x_{10000}=1234)$. Observe que isso significa que a função que verifica cada par verifica apenas os recursos de uma parte do estado , ou seja, a parte . De fato, se esse não fosse o caso, tudo seria inútil, porque não estaríamos recuperando nenhuma informação.$\bs x_k$

Esse último enquadramento do problema é aquele que se deve ter em mente ao pensar no algoritmo de Grover.

No caso quântico, os pares se tornam os estados quânticos (ou apenas como geralmente são indicados), e a função oracular verifica apenas essa parte da informação armazenada em corresponde ao destino . A saída do procedimento é o estado . Agora, parte desse estado já sabemos , porque foi codificada no oráculo: sabemos que a segunda parte da informação codificada em é$(k, \bs x_k)$$|\psi_k\rangle$$|k\rangle$$|\psi_k\rangle$$|\psi_{10000}\rangle$$|\psi_{10000}\rangle$$1234$, porque é isso que estávamos procurando em primeiro lugar e são as informações que foram codificadas no próprio oráculo. No entanto , o estado também carrega informações adicionais , ou seja, a posição no banco de dados: . Esta informação não foi usada para construir o oráculo e é a informação que obtemos ao executar o algoritmo.$|\psi_{10000}\rangle$ $10000$

Por fim, observe que o oracle não sabe nada sobre o conteúdo do banco de dados completo. Ele apenas implementa coerentemente uma função que verifica um único estado relação ao seu destino. No entanto, o fato de esse portão funcionar de forma coerente significa que é possível inserir nesse verificador uma superposição de muitos (possivelmente todos) os elementos do banco de dados e obter uma saída que contenha algumas informações globais sobre todos os elementos no banco de dados.$|\psi_k\rangle$

$f$$f(x)$$x$$w$