O que é o entrelaçamento quântico e qual o seu papel na correção de erros quânticos?

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Quero entender o que é o entrelaçamento quântico e qual o seu papel na correção de erros quânticos.

NOTA : Conforme as sugestões de @JamesWootton e @NielDeBeaudrap, fiz uma pergunta separada para a analogia clássica aqui .

entanglement error-correction

— Chinni
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Eu diria que isso é um pouco amplo demais, conforme solicitado. Talvez algo mais como "por que o entrelaçamento é necessário para a correção quântica de erros" e tenha uma pergunta separada para a analogia clássica.

— 21418 James Wootton #

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Editei para baixo uma pergunta e depois percebi que isso teria um viés em minha resposta sobre a das pirâmides. Mas @Chinni, concordo com James que você deve se concentrar em uma das duas perguntas.

— Niel de Beaudrap 01/04/19

@ JamesWootton e Niel, obrigado pelo conselho. Vou manter isso em mente a partir de agora. Mas como já existem três respostas para essa pergunta, tudo bem se eu a dividir em duas perguntas separadas?

— Chinni

@Chinni Eu acho que está bem. Talvez você deva notificar os respondentes nos comentários abaixo da resposta que eles também podem 'dividir' a resposta (se aplicável).

— Lagarto discreto

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As correlações clássicas entre variáveis ocorrem quando as variáveis parecem aleatórias, mas cujos valores podem concordar (ou discordar) sistematicamente de alguma forma. No entanto, sempre haverá alguém (ou algo) que 'sabe' exatamente o que as variáveis estão fazendo em um determinado caso.

O emaranhamento entre variáveis é o mesmo, exceto a última parte. A aleatoriedade é verdadeiramente aleatória. Resultados aleatórios são completamente indecisos até o momento da medição. Mas de alguma forma as variáveis, embora possam ser separadas por galáxias, ainda sabem concordar.

Então, o que isso significa para correção de erros? Vamos começar pensando na correção de erros um pouco .

Ao armazenar um bit clássico, os tipos de erros com os quais você precisa se preocupar são coisas como inversões e apagamentos de bits. Então, algo pode fazer você 0se tornar um 1, ou vice-versa. Ou sua parte pode vagar em algum lugar.

Para proteger as informações, podemos garantir que nossos bits lógicos (as informações reais que queremos armazenar) não se concentrem apenas em bits físicos únicos . Em vez disso, espalhamos isso. Assim, poderíamos usar uma codificação de repetição simples, por exemplo, onde copiamos nossas informações em vários bits físicos. Isso ainda nos permite divulgar nossas informações, mesmo que alguns dos bits físicos tenham falhado.

Esta é a tarefa básica da correção de erros: espalhamos nossas informações para dificultar a bagunça dos erros.

Para qubits, existem mais tipos de erros com os quais se preocupar. Por exemplo, você pode saber que os qubits podem estar em estados de superposição e que as medidas os alteram. Medições indesejadas são, portanto, outra fonte de ruído, causada pela interação do ambiente (e, em certo sentido, 'observando' nossos qubits). Esse tipo de ruído é conhecido como decoerência.

Então, como isso afeta as coisas? Suponha que usemos a codificação de repetição com qubits. Então substituímos o em nosso estado qubit lógico desejado com , repetido em muitos qubits físicos e substitua o com . Isso novamente protege contra inversões de bits e apagamentos, mas facilita ainda mais as medições dispersas. Agora o ambiente mede se temos ou por olhar para qualquer um dos muitos qubits. Isso tornará o efeito da decoerência muito mais forte, o que não é o que queríamos! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Para consertar isso, precisamos dificultar a descoerência para perturbar nossas informações lógicas de qubit, assim como dificultamos os movimentos e apagamentos de bits. Para isso, temos que tornar mais difícil medir nosso qubit lógico. Não é tão difícil que não possamos fazê-lo quando queremos, é claro, mas é muito difícil para o ambiente fazer com facilidade. Isso significa garantir que a medição de um único qubit físico não nos diga nada sobre o qubit lógico. De fato, precisamos fazer com que todos os qubits precisem ser medidos e seus resultados comparados para extrair qualquer informação sobre o qubit. Em certo sentido, é uma forma de criptografia. Você precisa de peças suficientes do quebra-cabeça para ter uma ideia do que é a imagem.

Nós poderíamos tentar fazer isso classicamente. As informações podem se espalhar em correlações complexas entre muitos bits. Olhando o suficiente dos bits e analisando as correlações, podemos extrair algumas informações sobre o bit lógico.

Mas essa não seria a única maneira de obter essas informações. Como mencionei antes, classicamente sempre há alguém ou algo que já sabe tudo. Não importa se é uma pessoa ou apenas os padrões no ar causados quando a criptografia foi realizada. De qualquer maneira, a informação existe fora da nossa codificação, e este é essencialmente um ambiente que sabe tudo. Sua própria existência significa que a decoerência ocorreu em um grau irreparável.

É por isso que precisamos de envolvimento. Com isso, podemos ocultar as informações usando correlações nos resultados aleatórios verdadeiros e desconhecidos das variáveis quânticas.

— James Wootton
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O emaranhamento é uma parte natural da informação quântica e da computação quântica. Se não estiver presente - se você tentar fazer as coisas de tal maneira que o emaranhado não surja -, então você não se beneficiará da computação quântica. E se um computador quântico estiver fazendo algo interessante, produzirá muito emaranhado, pelo menos como efeito colateral.

No entanto, isso não significa que o envolvimento seja "o que faz os computadores quânticos funcionarem". O emaranhamento é como as engrenagens giratórias de uma máquina: nada acontece se elas não estiverem girando, mas isso não significa que ter essas engrenagens girando rapidamente é suficiente para fazer a máquina fazer o que deseja. (O emaranhamento é um recurso primitivo dessa maneira para comunicação , mas não para computação, tanto quanto se viu.)

Isso é verdade tanto para correção de erros quânticos quanto para computação. Como todas as formas de correção de erros, a correção quântica de erros funciona distribuindo informações em torno de um sistema maior, em particular nas correlações de certas informações mensuráveis. O emaranhamento é apenas a maneira usual pela qual os sistemas quânticos se correlacionam; portanto, não é de surpreender que um bom código de correção de erros quânticos envolva muito emaranhamento. Mas isso não significa que tentar "bombear seu sistema cheio de emaranhado", como algum tipo de balão de hélio, é algo útil ou significativo para proteger informações quânticas.

Embora a correção quântica de erros às vezes seja descrita vagamente em termos de emaranhamento, o mais importante é como ela envolve a verificação de paridade usando diferentes 'observáveis'. A ferramenta mais importante para descrever isso é o formalismo do estabilizador. O formalismo do estabilizador pode ser usado para descrever alguns estados com grandes quantidades de emaranhamento, mas o mais importante é que você pode raciocinar sobre propriedades com vários qubit ("observáveis") com bastante facilidade. A partir dessa perspectiva, pode-se entender que a correção de erros quânticos está muito mais relacionada à física de muitos corpos de baixa energia dos spin-hamiltonianos, do que apenas ao emaranhamento em geral.

— Niel de Beaudrap
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Não há equivalente clássico ao emaranhamento. Talvez o emaranhamento seja melhor compreendido usando a notação Dirac (bra-ket).

Não é importante que, neste exemplo, os qubits emaranhados estejam em estados opostos: eles também podem estar no mesmo estado e ainda estar emaranhados. O que importa é que seus estados não são independentes um do outro. Isso causou grandes dores de cabeça para os físicos, porque significa que os qubits (ou as partículas que os carregam) não podem ter simultaneamente propriedades estritamente locais e ser governados por um conceito chamado realismo (refletem seus estados como propriedade intrínseca). Einstein famosamente chamou o paradoxo resultante (se você ainda assume locailidade e realismo) "ação assustadora à distância".

O emaranhamento não desempenha um papel especial na correção de erros quânticos: a correção de erros deve funcionar para todos os estados da base computacional (que não tem emaranhamento). Em seguida, ele também funciona automaticamente para superposições desses estados (que podem ser estados emaranhados).

— pirâmides
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Quero entender isso melhor, se houver emaranhamento, o desempenho desses algoritmos de correção de erros melhorará ou piorará? Além disso, é possível ter um sistema quântico sem emaranhamento?

— Chinni

\otimes

$\otimes$

@ pyramids: Eu acho que a afirmação "não existe equivalente clássico ao emaranhado" é (embora seja comum dizer) uma afirmação um pouco forte. Existe um análogo clássico , embora não seja profundamente misterioso. Nós o invocamos toda vez que explique o que é o entrelaçamento --- e, em seguida, afirme corajosamente que "o entrelaçamento não tem análogo clássico" para impedir que as pessoas confundam o entrelaçamento com o mesmo análogo clássico. em questão, porque é o que faz clássico trabalho de correção de erro.

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Da maneira como entendo o emaranhamento (um estado que não é do produto), essa afirmação é precisa e não excessivamente forte.

— Pyramids

Um par de variáveis aleatórias clássicas correlacionadas também é um estado não produto, e é precisamente dessa maneira que é um análogo clássico do emaranhamento. O que torna a sua afirmação "forte" é que existe uma liberdade de escolha em que alguém desenha a linha, entre fenômenos "análogos" em vez de "não análogos", e acontece que você desenhou a linha em um limite alto (como é convencional por entrelaçamento, por razões históricas).

— Niel de Beaudrap

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Para uma determinada classe de códigos denominada pura , a presença de emaranhamento é um requisito necessário e suficiente para a correção quântica de erros, ou seja, para corrigir todos os erros que afetam até um certo número de subsistemas.

$\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

$C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

$E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

$(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

$E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

$d$

Adendo: examinamos essa questão mais detalhadamente, detalhes podem ser encontrados no artigo Códigos Quânticos de Subespaços de Distância Máxima e Altamente Emaranhados . Há uma troca: quanto mais erros um código quântico puder corrigir, mais emaranhado deve ser cada vetor no espaço de código. Isso faz sentido, porque se a informação não for distribuída entre muitas partículas, o ambiente - lendo alguns qubits - poderá recuperar a mensagem no espaço de código. Isso destruiria necessariamente a mensagem codificada, devido ao teorema da não-clonagem. Assim, uma alta distância precisa de alto emaranhamento.

— Felix Huber
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Aqui está uma maneira de pensar sobre o papel do entrelaçamento nos códigos quânticos, que eu acho que é complementar à resposta de Felix Hubers.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Então, há uma maneira entrópica de pensar sobre as condições de correção de erros (em comparação com as condições mais algébricas de Knill-Laflamme). Especificamente, se

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Usando essa abordagem entrópica para correção de erros, existem rotas bastante diretas para entender o emaranhamento nos códigos. Por exemplo, podemos provar que,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

do seguinte modo. Primeiro, escrevemos essas informações mútuas em termos de sua definição,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Alex May
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