Quais aplicativos o Algoritmo de Pesquisa de Grover tem?

O algoritmo de pesquisa de Grover é geralmente mencionado em termos de encontrar uma entrada marcada em um banco de dados não classificado. Esse é um formalismo natural que permite que ele seja aplicado diretamente na busca de soluções para problemas de NP (onde uma boa solução é facilmente reconhecida).

Eu estava interessado em aprender sobre outras aplicações da pesquisa de Grover para encontrar o mínimo, a média e a mediana de um conjunto de números. Isso me deixa pensando se existem outras aplicações menos óbvias da pesquisa de Grover (ou aplicações de suas generalizações, como amplificação de amplitude) que já são conhecidas? Qualquer breve insight sobre como isso é feito será apreciado.

Além dos que você mencionou, outra aplicação do algoritmo de Grover (modificado) que eu sei é resolver o problema de colisão na teoria da complexidade, na computação quântica e na matemática computacional . Também é chamado de algoritmo BHT .

Introdução :

O problema da colisão geralmente se refere à versão 2 para 1, descrita por Scott Aaronson em sua tese de doutorado. Dado que é mesmo e uma função f : { 1 , . . . , N } → { 1 , . . . , n } sabemos de antemão que f é 1 para 1 ou 2 para 1. Só é permitido fazer consultas sobre o valor de f ( i ) para qualquer i ∈ { 1 , 2 $n$$f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$$f$$f(i)$ . O problema, então, pergunta quantas consultas nós precisamos fazer para determinar com certeza se f é de 1 para 1 ou 2-para-1.$i\in\{1,2,...,n\}$$f$

A solução da versão 2 para 1 deterministicamente requer consultas e, em geral, distinguir as funções r-1 para 1 das funções 1 para 1 exige n / r + 1 consultas.$n/2+1$$n/r+1$

Solução clássica determinística :

Essa é uma aplicação direta do princípio do buraco de pombo: se uma função é r-para-1, depois de consultas, é garantido que encontramos uma colisão. Se uma função é 1 para 1, não existe colisão. Se tivermos azar, as consultas n / r poderão retornar respostas distintas. Portanto, n / r + 1 consultas são necessárias.$n/r+1$$n/r$$n/r+1$

Solução clássica aleatória :

Se permitirmos aleatoriedade, o problema é mais fácil. Pelo paradoxo do aniversário, se escolhermos consultas (distintas) aleatoriamente, com alta probabilidade, encontraremos uma colisão em qualquer função fixa de 2 para 1 após consultas.$\Theta(\sqrt{n})$

Solução Quantum BHT :

Intuitivamente, o algoritmo combina a aceleração da raiz quadrada do paradoxo do aniversário usando aleatoriedade (clássica) com a aceleração da raiz quadrada do algoritmo de Grover (quantum).

Em primeiro lugar, entradas para f são seleccionados ao acaso e f é consultada em todos eles. Se houver uma colisão entre essas entradas, retornamos o par de entradas em colisão. Caso contrário, todas essas entradas são mapeadas para valores distintos por f . O algoritmo de Grover é usado para encontrar uma nova entrada para f que colide. Uma vez que existem apenas n 2 / 3 desses insumos para f , o algoritmo de Grover pode encontrar um (se existir), tornando única O ( $n^{1/3}$$f$$f$$f$$f$$n^{2/3}$$f$consultas paraf.$\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$$f$

Fontes:

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Collision_problem

2. https://en.wikipedia.org/wiki/BHT_algorithm

3. Algoritmo Quântico para o Problema de Colisão - Gilles Brassard, Peter Hoyer, Alain Tapp

O algoritmo de Grover também é amplamente utilizado em criptografia quântica. Ele pode ser usado para resolver problemas como o problema do logaritmo transcendental, problema de localização de raiz polinomial etc.

$M$$M$

De fato, o algoritmo de Grover é o algoritmo quântico mais conhecido para muitos problemas difíceis de otimização (como os NP-completos) que não têm muita estrutura que seja passível de um algoritmo clássico mais inteligente que a pesquisa de força bruta: https: // link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67 .