Quais números inteiros foram fatorados com o algoritmo de Shor?

Espera-se que o algoritmo de Shor nos permita fatorar números inteiros muito maiores do que seria possível em computadores clássicos modernos.

No momento, apenas números inteiros menores foram fatorados. Por exemplo, este artigo discute a fatoração . $15=5{\times}3$

Qual é, nesse sentido, o estado da arte da pesquisa? Existe algum artigo recente no qual diz que alguns números maiores foram fatorados?

shors-algorithm

— Dançarino deitado
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Estreita relação, mas não uma duplicata exata: qual é o número mais alto fatorado pelo CQ em um experimento não específico?

— agaitaarino 20/0518

Respostas:

A fatoração primária de 21 (7x3) parece ser a maior realizada até o momento com o algoritmo de Shor; foi realizado em 2012, conforme detalhado neste documento . Deve-se notar, no entanto, que números muito maiores, como 56.153 em 2014, foram fatorados usando um algoritmo de minimização, conforme detalhado aqui . Para uma referência conveniente, consulte a Tabela 5 deste documento :

{\begin{matrix} Table 5: Quantum factorization records \\ \begin{array}{cccccc} Number & # of factors & \begin{matrix} # of qubits \\ needed \end{matrix} & Algorithm & \begin{matrix} Year \\ implemented \end{matrix} & \begin{matrix} Implemented \\ without prior \\ knowledge of \\ solution \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Shor & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Shor & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & minimization & not yet & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & minimization & not yet & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— urze
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@SeameamOssifrage: Onde o algoritmo de minimização é "limitado a números cujos fatores têm relações conhecidas, tornando o espaço de pesquisa muito menor, como diferir apenas em algumas posições de bits ou diferir em todas, exceto algumas posições"?

— User1271772 20/0518

@user1271772 As I understand it, the technique relies on reducing the problem to require only a tractable number of qubits by eliminating variables by known relations between the bits of the factors. Though the number of qubits to factor

N

$N$ may scale with only

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$ , nenhum dos artigos que li pareceu tentar estimar o crescimento do tempo de solução em função do número de qubits ou de

\log N

$\log N$ .

— Ossifrage Squeamish

@SeameamOssifrage: "eliminando variáveis por relações conhecidas entre os bits dos fatores" Você concorda que a Eq. 1 de arxiv.org/pdf/1411.6758.pdf implica que z12 = 0, sem nenhuma relação "conhecida" entre os bits? Você concorda que pode deduzir que z12 = 0 para p1, p2, q1, q2 arbitrário? Próximo: O número de variáveis (qubits) no método da tabela é

\log (N)

$\log(N)$ não

\log^{2} N

$\log^2 N$ . O problema pode ser resolvido em um recozedor com

\log (N)

$\log(N)$ qubits se interações arbitrárias de 4 qubit forem permitidas. Se apenas interações de 2 qubit forem permitidas, você precisará

\log^{2} N

$\log^2 N$ .

— User1271772

@SeameamOssifrage: "nenhum dos artigos que li pareceu tentar estimar o crescimento do tempo de solução em função do número de qubits". Este fez uma tentativa: journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 Mas "tempo para solução" não é importante, é o esforço necessário. A peneiração do GNF é fácil, mas a etapa da matriz é terrivelmente complicada. Executar o algoritmo de Shor de uma maneira razoavelmente ideal é complicado. O algoritmo de minimização é simples.

— User1271772 23/05

@ SqueamishOssifrage: Finalmente: "Observe que o algoritmo de minimização é limitado a números cujos fatores têm relações conhecidas" .. nenhuma parte do algoritmo é limitada a relações "conhecidas". O algoritmo não assume nada sobre os fatores. Sem relações. Os bits são todas variáveis desconhecidas que são determinadas por minimização. A minimização pode ser feita com menos qubits para alguns números do que outros. O mesmo vale para o algoritmo de Shor. O mesmo vale para o GNFS. De fato, se o número que você deseja fatorar é par, é bastante fácil fatorá-lo.

— User1271772 23/05

Para o algorthm de Shor : o estado da arte ainda é 15 . Para "fatorar" 21 no artigo que Heather menciona, eles tiveram que usar o fato de que $21=7\times 3$ escolher sua base $a$ . Isso foi explicado em 2013 no artigo Fingindo fatorar números em um computador quântico , posteriormente publicado pela Nature com um título um pouco mais amigável . O computador quântico não levou em consideração 21, mas verificou que os fatores 7 e 3 estão realmente corretos.

Para o algoritmo de recozimento : o estado da técnica é 376289 . Mas não sabemos como isso será dimensionado. Um limite superior muito bruto para o número de qubits necessários para o fator RSA-230 é de 5,5 bilhões de qubits (mas isso pode ser reduzido significativamente por melhores compiladores), enquanto o algoritmo de Shor pode fazer isso com 381 qubits .

— user1271772
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Você notará na tabela na minha resposta que há uma coluna para "implementado sem conhecimento prévio da solução", existe um "x" para todas as implementações de algoritmos de shor, levando-me a acreditar que algo semelhante é verdadeiro para o fatoramento 15.

— heather

O tamanho do número fatorado não é uma boa medida para a complexidade do problema de fatoração e, correspondentemente, o poder de um algoritmo quântico. A medida relevante deve ser a periodicidade da função resultante que aparece no algoritmo.

Isso é discutido em J. Smolin, G. Smith, A. Vargo: Fingindo fatorar grandes números em um computador quântico , Nature 499, 163-165 (2013) . Em particular, os autores também fornecem um exemplo de número com 20.000 dígitos binários que podem ser fatorados em um computador quântico de dois qubit, com exatamente a mesma implementação que havia sido usada anteriormente para fatorar outros números.

Deve-se notar que as "simplificações manuais" que os autores realizam para chegar a esse algoritmo quântico são algo que também foi feito, por exemplo, no fatoração original do experimento 15.

— Norbert Schuch
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