Modelos de canais quânticos

O chamado canal de despolarização é o modelo de canal usado principalmente na construção de códigos de correção de erro quântico. A ação desse canal sobre um estado quântico $\rho$ é

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Eu queria saber quais outros modelos de canal são considerados nas comunicações quânticas e como a construção de códigos de correção de erros é afetada pela consideração desses outros canais.

Primeiro, deixe-me mencionar um ponto menor sobre terminologia. O tipo de canal que você está sugerindo é chamado de canal Pauli ; o termo canal despolarizante geralmente se refere ao caso em que .$p_x = p_y = p_z$

De qualquer forma, não é realmente correto dizer que os canais Pauli são o modelo de canal considerado para a correção quântica de erros. Os códigos padrão de correção de erros quânticos podem proteger contra erros arbitrários (representados por qualquer canal quântico que você escolher), desde que os erros não afetem muitos qubits.

Como exemplo, vamos considerar um erro-qubit único arbitrária, representado por um canal mapeamento um qubit a um qubit. Esse canal pode ser expresso na forma de Kraus como Φ ( ρ ) = A 1 ρ A † 1 + ⋯ + A m ρ A † m para algumas opções de operadores Kraus A 1 , … , A m . (Para um canal de qubit, sempre podemos usar m = 4, se quisermos.) Você pode, por exemplo, escolher esses operadores para que Φ ( $\Phi$

$$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$$ $A_1,\ldots,A_m$$m = 4$para cada estado de qubit ρ , você pode tornar o erro unitário ou qualquer outra coisa que escolher. A escolha pode até ser contraditória, selecionada depois que você souber como o código funciona.$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$$\rho$

Cada um dos operadores Kraus pode ser expresso como uma combinação linear de operadores Pauli, porque os operadores Pauli formam uma base para o espaço de 2 por 2 matrizes complexas: A k = a k I + b k X + c k Y + d k Z . Se você agora expandir a representação Kraus de Φ acima, obterá uma expressão confusa em que Φ ( ρ ) se parece com uma combinação linear de operadores da forma P i ρ P j onde$A_k$

$$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$$ $\Phi$$\Phi(\rho)$$P_i \rho P_j$ e P 1 = I , P 2 = X , P 3 = Y , e P 4 = Z .$i,j\in\{1,2,3,4\}$$P_1 = I$$P_2 = X$$P_3 = Y$$P_4 = Z$

$X$$Y$$Z$

$\Phi$

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$$ $|\psi\rangle$$P_i$$P_j$$P_i$$P_j$

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$$

Tudo isso é descrito (um pouco brevemente) na Seção 10.2 de Nielsen e Chuang.