Incorporando informações clássicas à norma de um estado quântico

De acordo com uma introdução ao aprendizado de máquina quântica (Schuld, Sinayskiy & Petruccione, 2014) , Seth Lloyd et al. dizem em seu artigo: Algoritmos quânticos para aprendizado de máquina supervisionado e não supervisionado que informações clássicas podem ser codificadas na norma de um estado quântico . Não sei se entendi a notação deles. $\langle x|x \rangle = |\vec{x}|^{-1}\vec{x}$

Vamos dar um exemplo simples. Digamos que eu queira armazenar esta matriz: de tamanho no estado de um sistema quântico de bits. $V = \{3,2,1,2,3,3,5,4\}$ $2^{3}$ $3$

Eu posso representar o estado de um sistema de bits como: $3$

Eu poderia representar como um vetor que forma uma base ortonormal em e escreve a norma euclidiana padrão para isso como . $V$ $\vec{V} = 3 \hat{x}_1 + 2 \hat{x}_2 +... + 4 \hat{x}_8$ $\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_8\}$ $\Bbb R^{8}$ $|\vec{V}|=\sqrt{3^2+2^2+...+4^2}$

Depois disso, estou confuso sobre como obteria os coeficientes . Devo apenas atribuir a , a e assim por diante? $a_1,a_2,..,a_8$ $3$ $a_1$ $2$ $a_2$

Mas, novamente :

Considere o vetor vetor complexo dimensional com componentes . Suponha que sejam armazenados como números de ponto flutuante na memória quântica de acesso aleatório. A construção do estado quântico de qubit então etapas desde que o sub -norms também são fornecidas na qRAM, caso em que qualquer estado pode ser construído nas etapas . $N=2^{n}$ $\vec{v}$ $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$ $\{|v_i|,\phi_i\}$ $\log_2 N$ $|v\rangle = |\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $\mathcal{O}(\log_2 N)$ $\mathcal{O}(\log N)$

Em primeiro lugar , eu não entendo a sua noção de dimensional complexo vetor. Se cada um dos componentes de sua matriz de dados clássica tiver dois números de ponto flutuante, não a codificação em um estado quântico de bits será equivalente a armazenar uma matriz clássica de tamanho em um sistema de bits ? Sim, eu sei que são números complexos com magnitude e direção e, portanto, podem armazenar quantidade de informações clássicas. Mas eles não mencionam em nenhum lugar como converterão dados clássicos (digamos, na forma de um $2^n$ $n$ $2\times 2^{n}$ $n$ $a_1,a_2,..,a_{2^n}$ $2\times 2^{n}$ $2\times 2^{n}$ array) nesse formulário. Além disso, parece haver uma restrição de que a fase de um número complexo só pode variar de a . $a_i$ $-\pi$ $+\pi$

Em segundo lugar , suponhamos que o conjunto de dados inicial que desejamos armazenar em nosso sistema quântico fosse realmente . $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$

Se eles definirem como então em nosso exemplo seria semelhante a . Mas então estamos perdendo todas as informações sobre as fases , não é? Então, qual foi a utilidade de começar com um vetor complexo (com fase e magnitude) em primeiro lugar, quando estamos perdendo essas informações ao converter para qualquer maneira? Ou estamos escrevendo para considerar como $|v\rangle$ $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ $\phi_i$ $|V\rangle$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$ ?

Seria realmente útil se alguém pudesse explicar onde estou errado usando alguns exemplos concretos sobre o armazenamento de dados clássicos em um sistema de qubit. $n$

quantum-information quantum-state machine-learning

— Sanchayan Dutta
fonte

O Schuld et al. O artigo foi escrito bem cedo na era do "aprendizado de máquina quântica", e nunca tive um interesse suficientemente profundo no aprendizado de máquina quântica (ainda) para gastar muito tempo aprendendo-o. Portanto, não tentarei responder à pergunta, mas uma coisa em que posso contribuir é responder à sua confusão sobre a restrição da fase complexa entre e . Esse intervalo de a na verdade não é uma "restrição" porque abrange todas as fases matemáticas possíveis que possam existir. a significa -180 a 180 graus, que é um círculo completo.

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

— user1271772

Qualquer coisa além do intervalo de a é como dizer 370 graus, que é um círculo completo mais outros 10 graus. Então 370 graus é equivalente a 10 graus, e da mesma forma para qualquer coisa fora do intervalo de a .

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

— User1271772

Eu não entendo a sua noção de dimensional complexo vetor. Se cada um dos componentes de sua matriz de dados clássica tiver dois números de ponto flutuante, não a codificação em um estado quântico de bits será equivalente a armazenar uma matriz clássica de tamanho em um sistema de bits ? $2^n$ $n$ $2\times 2^{n}$ $n$

Você está absolutamente certo de que uma matriz clássica de nubers é armazenada em um sistema de n-qubit. $2\times 2^n$

Mas eles estão absolutamente certos de que a dimensão do vetor é . Isso ocorre porque o vetor possui linhas, em que cada entrada possui 2 números clássicos. $2^n$ $2^n$

Você também pode armazenar o mesmo vetor em uma matriz : linhas são preenchidas com as partes reais e linhas pelas partes imaginárias, mas esse vetor não evoluiria de acordo com a equação de Schrödinger . $2\times 2^n$ $2^n$ $2^n$

Espero que isso ajude a resolver esta parte da questão.

Mas eles não mencionam em nenhum lugar como converterão dados clássicos (digamos, na forma de uma matriz ) para essa forma. $2\times 2^{n}$

Você está certo. Assim como Peter Shor nunca mencionou em nenhum lugar como serão preparados seus qubits para fatoração.

Isso depende dos experimentalistas e depende da implementação . Isso significa que, para qubits NMR, você converteria os dados clássicos em qubits de maneira diferente dos qubits supercondutores, qubits com armadilha de íons ou qubits de pontos quânticos, etc. Portanto, não culpo Shor, nem nenhum dos 6 autores dos 2 trabalhos você mencionou (que são todos teóricos, a propósito), por não explicar como os qubits serão preparados.

vamos supor que a matriz de dados inicial que desejamos armazenar em nosso sistema quântico fosse realmente . Se eles definirem como então em nosso exemplo seria semelhante a . Mas então estamos perdendo todas as informações sobre as fases , não é? Então, qual foi a utilidade de começar com um vetor complexo (com fase e magnitude) em primeiro lugar, quando estamos perdendo essas informações ao converter para $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$ $|v\rangle$ $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ $\phi_i$ $|V\rangle$ de qualquer forma?

Você o teve anteriormente na sua pergunta! "Considere o vetor vetor complexo dimensional com componentes ." Portanto, o vetor é: $N=2^{n}$ $\vec{v}$ $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

| \vec{v} |^{- 1 / 2} (\begin{matrix} | v_{1} | e^{i ϕ_{1}} \\ | v_{2} | e^{i ϕ_{2}} \\ ⋮ \\ | v_{2^{n}} | e^{i ϕ_{2^{n}}} \end{matrix})

$\begin{equation} |\vec{v}|^{-1/2} \begin{pmatrix}|v_{1}|e^{i\phi_{1}}\\ |v_{2}|e^{i\phi_{2}}\\ \vdots\\ |v_{2^{n}}|e^{i\phi_{2^{n}}} \end{pmatrix} \end{equation}$

Observe:
1) Existem entradas, não 2) NÃO existe norma nas fases, portanto, é por isso que você perdeu todas as informações sobre as fases, porque coloca símbolos extras de normas onde eles não devem ' seja :) $2^n$ $2 \times 2^n$

Ou estamos escrevendo para considerar como ? $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$

Mais perto! A resposta correta é o vetor que escrevi acima, que pode ser escrito assim:

$|\vec{v}|^{-1/2}\left( e^{i \phi_1} |00 \cdots 00\rangle + e^{i \phi_2} |00 \cdots 01\rangle + \cdots + e^{i \phi_{N}} |1\cdots 1\rangle\right)$ .

Para seu exemplo específico :

\frac{3 e^{i ϕ_{1}} | 000 ⟩ + 2 e^{i ϕ_{8}} | 001 ⟩ + \dots + 4 e^{i ϕ_{8}} | 111 ⟩}{\sqrt{77}}

$\begin{equation} \frac{3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_8}|001\rangle + \cdots + 4e^{i\phi_8}|111\rangle}{\sqrt{77}} \end{equation}$

O objetivo de tudo isso é que a soma dos quadrados dos coeficientes seja 1, o que na minha equação é verdadeiro porque o numerador é:

\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{77}

$\begin{equation} \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 5 ^2+ 4^2} = \sqrt{77} \end{equation}$

Espero que isso esclareça!

— user1271772
fonte

Hum, mas não é? Onde está o na sua expressão?

| V ⟩ = | \vec{V} |^{- 1 / 2} \vec{V}

$|V\rangle = |\vec{V}|^{-1/2}\vec{V}$

| \vec{V} |^{- 1 / 2}

$|\vec{V}|^{-1/2}$

— Sanchayan Dutta

Mas . Então, , não? Ou eles estão usando uma definição diferente de norma?

| \vec{V} | = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{77}

$|\vec{V}| = \begin{equation} \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 5 ^2+ 4^2} = \sqrt{77} \end{equation}$

| \vec{V} |^{- 1 / 2} = 77^{- 1 / 4}

$|\vec{V}|^{-1/2} = 77^{-1/4}$

— Sanchayan Dutta

Tudo consertado agora. Há um erro de digitação no artigo original de Seth Lloyd. não é normalizado. Deve ser dividido pela norma do vetor. Oé chamado de "normalização" a propósito.

{v_{i} = | v_{i} | e^{i ϕ_{i}}}

$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

| \vec{v} |^{- 1 / 2} |

$|\vec{v}|^{-1/2}|$

— User1271772

Eu pergunto porque para um vetor como a norma é

2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}

$2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 5^{2}}

$\sqrt{2^2+3^2+5^2}$

— Sanchayan Dutta

Você está certo, eu consertei isso, ainda há algum problema? Agradeceria se você aceitasse a resposta, pois demorou mais para digitar do que eu pensava.

— User1271772