Como permutar (reorganizar) uma entrada de n bits?

Estou interessado em um algoritmo quântico que obtém como entrada uma sequência de n bits e que produz como saída uma versão embaralhada (permutada) dessa sequência de n bits.

Por exemplo, se a entrada for 0,0,1,1 (então n = 4 neste caso), então as respostas possíveis são:

• 0,0,1,1
• 0,1,0,1
• 0,1,1,0
• 1,0,0,1
• 1,0,1,0
• 1,1,0,0

Observe que apenas uma saída deve ser gerada e escolhida aleatoriamente entre todas as saídas válidas possíveis.

Como isso pode ser melhor implementado em um algoritmo quântico ?

Uma solução para isso já é proposta como parte de uma das respostas para Como criar um algoritmo quântico que produz sequências de 2 n bits com número igual de 1 bits? . Mas o problema com esta solução é que isso requer cerca de qubits de ajuda, que se tornam rapidamente enormes se n for grande.$\binom{n}2$

Nota:

• Por favor, não forneça um algoritmo clássico sem nenhuma explicação de como as etapas do algoritmo clássico podem ser mapeadas para um computador quântico universal.
• para mim, existem 2 boas maneiras de interpretar "escolhidos aleatoriamente entre todos os possíveis bons resultados" : (1) cada bom resultado possível tem chances iguais de ser escolhido. (2) toda boa saída possível tem uma chance> 0 de ser escolhida.

Isso poderia ser feito com qubits adicionais ao longo destas linhas:$\lceil\log n\rceil$

1. Transforme os qubits adicionais para que eles codifiquem um número escolhido uniformemente aleatoriamente.$k\in\{0,\ldots,n-1\}$

2. Desloque ciclicamente os qubits de entrada vezes.$k$

3. Deixe o último dos qubits de entrada originais ser fixado como saída e recursar no restante deles.$n-1$

Este é um algoritmo clássico, mas você pode executá-lo em um computador quântico, é claro, como Norbert sugeriu em um comentário. (O aspecto da pergunta que é inflexível sobre o algoritmo ser quântico ainda não está claro para mim; portanto, se executar um algoritmo clássico como o que sugeri em um computador quântico não for suficiente, seria útil que a pergunta fosse seja esclarecido.)

Observe que, como a pergunta solicita uma saída aleatória, o algoritmo precisará gerar entropia em algum momento, presumivelmente através de medições ou executando outras operações não unitárias em qubits (como inicializá-las). No algoritmo acima, é a primeira etapa que gera entropia: independentemente do estado dos qubits adicionais antes da operação na etapa 1, eles devem ter o estado após a etapa 1 ser executada (com codificado em binário, digamos).

Nota: esta resposta assume que você deseja que a permutação seja coerente , ou seja, você deseja em vez de um 1/3 possibilidade de001, um 1/3 possibilidade de010, e um 1/3 possibilidade de100.$\frac{1}{\sqrt{3}} ( |001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$$001$$010$$100$

Tenha cuidado ao especificar essa tarefa, pois ela pode ser facilmente impossível devido a restrições de reversibilidade. Por exemplo, para a entrada pretende reproduzir o estado GHZ | $|001\rangle$. Mas se você também deseja gerar o estado GHZ para a entrada| 010⟩e| 100⟩, que não vai funcionar. Você não pode enviar vários estados de entrada para o mesmo estado de saída (sem decoerência). Contanto que você diga "Eu só me importo com entradas ascendentes classificadas como 0000111, mas não 1110000 ou 0010110; você pode fazer o que quiser com elas", tudo ficará bem.$\left| {3 \atop 1} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$$|010\rangle$$|100\rangle$

Um truque para produzir uma permutação quântica de uma entrada classificada é primeiro preparar um "estado de permutação" aplicando uma rede de classificação a uma lista de valores de sementes, cada um em uma superposição uniforme. A rede de classificação produzirá qubits com as sementes classificadas, mas também qubits com as comparações da rede de classificação. O estado de permutação é apenas os qubits de comparação. Para aplicá-lo à sua entrada, basta executar a entrada pela rede de classificação ao contrário. Observe que existem alguns detalhes complicados aqui; veja o artigo " Técnicas Aprimoradas para a Preparação de Eigenstates de Hamiltonianos Fermiônicos ". Você precisaria generalizar essa técnica para trabalhar com entradas com valores repetidos, em vez de apenas valores únicos.

$\left| {n \atop k} \right\rangle$$n$$k$

$|0001\rangle$$\frac{1}{\sqrt{4}}$$\left| {4 \atop 1} \right\rangle$$|0011\rangle$$\left| {4 \atop 2} \right\rangle$$\frac{1}{\sqrt{6}}$

Um computador quântico pode fazer cálculos clássicos. O algoritmo ideal seria:

1. Escolha qualquer bit (o mais rápido que você pode acessar).
2. Encontre um bit com o valor oposto (se na etapa 1 você obteve um 0, encontre um 1)
3. Troque-os (0 se torna 1 e 1 se torna 0).

$N$$\mathcal{O}(N)$$n^{\textrm{th}}$$\mathcal{O}\left(\sqrt{N}\right)$