Jones Polynomial

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Existem muitos algoritmos quânticos razoavelmente padrão que podem ser entendidos dentro de uma estrutura muito semelhante, desde o problema de Simon no algoritmo de Deutsch, pesquisa de Grover, algoritmo de Shor e assim por diante.

Um algoritmo que parece ser completamente diferente é o algoritmo para avaliar o polinômio de Jones . Além disso, parece que este é um algoritmo crucial para entender no sentido de que é um problema completo do BQP : ele exibe toda a potência de um computador quântico. Além disso, para uma variante do problema, é o DQC-1 completo , ou seja, exibe a potência total de um qubit limpo .

O artigo do algoritmo Jones Polynomial apresenta o algoritmo de uma maneira muito diferente dos outros algoritmos quânticos. Existe uma maneira mais semelhante / familiar de entender o algoritmo (especificamente, o unitário na variante DQC-1, ou apenas todo o circuito na variante BQP-complete)? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
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Essa resposta é mais ou menos um resumo do artigo de Aharonov-Jones-Landau ao qual você vinculou, mas com tudo que não está diretamente relacionado à definição do algoritmo removido. Espero que isso seja útil.

O algoritmo de Aharonov-Jones-Landau aproxima o polinômio de Jones do fechamento de uma trança em uma ésima raiz de unidade, percebendo-o como (algum redimensionamento de) um elemento da matriz de uma determinada matriz unitária , a imagem de sob uma certa representação unitária do grupo de tranças . Dada a implementação de como um circuito quântico, a aproximação de seus elementos da matriz é direta usando o teste de Hadamard . A parte não trivial está aproximando como um circuito quântico. $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

Se é uma trança em fios com cruzamentos, podemos escrever , onde , $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ , e é o gerador de que corresponde ao cruzamento da ésima vertente sobre o st. Basta descrever , pois . $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Para definir , primeiro damos um certo subconjunto da base padrão de no qual atua de maneira não trivial. Para , deixar . Vamos ligar $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ admissível se para todo . (Isso corresponde a descreve um caminho de comprimento no gráfico definido no artigo da AJL.) Seja $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ Seja(isso é digitado incorretamente no artigo da AJL; observe também que aqui e somente aqui,

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

não é o índice

). Escreva

, onde

é o primeiro

bits de

, e deixar

. Então

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

Definimos

para elementos da base não admissíveis

.

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

$U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

Então, para recapitular:

$\sigma \in B_{2n}$ $m$
$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— Evan Jenkins
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Você mencionou cinco artigos na questão, mas um artigo que não foi mencionado é a implementação experimental em 2009 . Aqui você encontrará o circuito real que foi usado para avaliar um polinômio Jones:

Isso pode ser o mais próximo possível de uma apresentação "mais familiar" do algoritmo, já que o interesse no polinômio Jones e no DQC-1 diminuiu um pouco desde 2009.

Mais detalhes sobre esse experimento podem ser encontrados na tese de Gina Passante .

— user1271772
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U_{n}

$U_n$

Seja bem-vindo. Sim, essa foi uma PRL de 4 páginas com detalhes não explicados tão detalhadamente quanto eu gostaria - talvez haja um "Material Complementar" na página da revista que explique melhor o U. O polinômio Jones e o DQC-1 eram populares entre 2008 e 2009, mas eu parei de ouvir sobre isso desde então.

— user1271772