É possível acelerar a geração da matriz de ponderação usando um algoritmo quântico?

Na presente ^[1] de papel, na página 2, eles mencionam que eles estão a gerar a matriz de ponderação como se segue:

W = \frac{1 1}{M d} [\sum_{m = 1 1}^{m = M} x^{(m)} {(x^{(m)})}^{T}] - \frac{{Eu}_{d}}{d}

$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$

onde 's são os amostras de formação dimensional (isto é, onde ) e existem $\mathbf{x}^{(m)}$ $d$ $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$ $M$ amostras de treinamento no total. Esta geração de matriz de ponderação usando multiplicação de matrizes seguida de uma soma sobre termos parece ser uma operação cara em termos de complexidade de tempo, isto é, acho que em torno de (?). $M$ $O(Md)$

Existe algum algoritmo quântico que possa oferecer uma aceleração substancial para a geração da matriz de ponderação? Penso que, no artigo, sua principal aceleração vem do algoritmo de inversão da matriz quântica (que será mencionado mais adiante), mas eles não parecem ter levado em conta esse aspecto da geração da matriz de ponderação.

[1]: Uma Rede Neural Quantum Hopfield Lloyd et al. (2018)

algorithm neural-network

— Sanchayan Dutta
fonte

Tomando a matriz de densidade muitos dos detalhes estão todos contidos no parágrafo a seguir na página 2:

ρ = W + \frac{{Eu}_{d}}{d} = \frac{1 1}{M} \sum_{m = 1 1}^{M} | x^{(m)} ⟩ ⟨ x^{(m)} |,

$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$

Crucial para adaptações quânticas de redes neurais é a leitura clássica-quântica de padrões de ativação. Em nosso cenário, a leitura em um padrão de ativação equivale a preparar o estado quântico . Isso poderia, em princípio, ser alcançado usando as técnicas de desenvolvimento da memória quântica de acesso aleatório (qRAM) [33] ou preparação eficiente do estado quântico, para a qual existem resultados restritos, baseados em oráculos [34]. Nos dois casos, a sobrecarga computacional é logarítmica em termos de . Como alternativa, pode-se adaptar uma perspectiva totalmente quântica e adotar os padrões de ativação $x$ $|x〉$ $d$ $|x〉$ diretamente de um dispositivo quântico ou como a saída de um canal quântico. Para o primeiro, nosso tempo de execução da preparação é eficiente sempre que o dispositivo quântico é composto por um número de portas escalando no máximo polinomialmente com o número de qubits. Em vez disso, para o último, normalmente vemos o canal como uma forma de interação sistema-ambiente fixa que não requer uma sobrecarga computacional para implementar.

As referências acima são:

[33]: V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone, memória de acesso aleatório quântica, Physical Review Letters 100, 160501 (2008) [ PRL link , arXiv link ]

[34]: AN Soklakov, R. Schack, Preparação eficiente do estado para um registro de bits quânticos, Physical Review A 73, 012307 (2006). [ Link PRA , link arXiv ]

Sem entrar em detalhes de como, ambos os itens acima são de fato esquemas para, respectivamente, implementar uma qRAM eficiente; e preparação eficiente do estado que recrie o estado no tempo . $\left|x\right>$ $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$

No entanto, isso só nos leva até aqui: isso pode ser usado para criar o estado , enquanto queremos uma soma sobre todos os possíveis . $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$ $m$

Fundamentalmente, é misturado, portanto não pode ser representado por um único estado puro; portanto, a segunda das duas referências acima sobre a recriação de estados puros não se aplica e a primeira exige que o estado já esteja no qRAM. $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$

Como tal, os autores fazem uma de três suposições possíveis:

Eles têm um dispositivo que simplesmente lhes fornece o estado de entrada correto
Eles têm os estados no qRAM, $\rho^{\left(m\right)}$
Eles são capazes de criar esses estados à vontade, usando a segunda das referências acima. O estado misto é então criado usando um canal quântico (ou seja, um mapa completamente positivo, preservando traços (CPTP)).

Esquecendo as duas primeiras opções acima no momento (a primeira resolve o problema magicamente de qualquer maneira), o canal pode ser:

$t$
$n=\lceil\log_2 d\rceil$ $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$ $\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$

$a$ $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$ $d$ $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$ $\rho$ $\left|x^{\left(m\right)}\right>$ $\mathcal O\left(n\right)$ $\left|x^{\left(m\right)}\right>$ $\rho$ $\mathcal O\left(n\right)$

^{1 Obrigado a @glS por apontar essa possibilidade no chat}

$e^{-iAt}$

UMA = (\begin{matrix} W - γ {Eu}_{d} & P \\ P & 0 0 \end{matrix})

$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$

— Mithrandir24601
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| D_{j} ⟩

$|D_j\rangle$