Algoritmo quântico para sistemas lineares de equações (HHL09): Etapa 1 - Confusão quanto ao uso do algoritmo de estimativa de fase

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Estou tentando entender o famoso algoritmo Quantum (?) Para sistemas de equações lineares (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (mais conhecido popularmente como o algoritmo HHL09 ) há algum tempo, agora.

Na primeira página, eles dizem :

Esboçamos aqui a idéia básica do nosso algoritmo e, em seguida, discutimos mais detalhadamente na próxima seção. Dado um Hermitian matriz , e uma unidade de vetor , suponha que nós gostaríamos de encontrar satisfazendo . (Discutimos questões de eficiência posteriores, bem como como as suposições que fizemos sobre e podem ser relaxadas.) Primeiro, o algoritmo representa como um estado quântico . Em seguida, usamos técnicas de simulação hamiltoniana [3, 4] para aplicar a $N\times N$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ para uma superposição de tempos diferentes . Essa capacidade de exponenciar traduz, por meio da conhecida técnica de estimativa de fase [5–7], na capacidade de decompor na base própria de e encontrar os valores próprios correspondentes Informalmente, o estado do O sistema após este estágio está próximo de , em que é a base do vetor próprio de e . $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

Por enquanto, tudo bem. Conforme descrito em Nielsen & Chuang no capítulo " A transformada quântica de Fourier e suas aplicações ", o algoritmo de estimativa de fase é usado para estimar em que é o valor próprio correspondente a um vetor próprio do operador unitária . $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

Aqui está a parte relevante da Nielsen & Chuang:

O algoritmo de estimativa de fase usa dois registros. O primeiro registro contém qubits inicialmente no estado . A escolha de depende de duas coisas: o número de dígitos de precisão que desejamos ter em nossa estimativa para e com que probabilidade desejamos que o procedimento de estimativa de fase seja bem-sucedido. A dependência de dessas quantidades emerge naturalmente da análise a seguir. $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

O segundo registro começa no estado e contém quantos qubits são necessários para armazenar . A estimativa de fase é realizada em dois estágios. Primeiro, aplicamos o circuito mostrado na Figura 5.2. O circuito começa aplicando uma transformação Hadamard ao primeiro registro, seguida pela aplicação de operações controladas no segundo registro, com elevado a potências sucessivas de dois. O estado final do primeiro registro é facilmente visto como sendo: $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} exp (2 π i φ k) | k ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

O segundo estágio da estimativa de fase é aplicar a transformada de Fourier quântica inversa no primeiro registro. Isso é obtido revertendo o circuito para a transformada quântica de Fourier na seção anterior (Exercício 5.5) e pode ser feito nas etapas . O terceiro e último estágio da estimativa de fase é ler o estado do primeiro registro fazendo uma medição na base computacional. Mostraremos que isso fornece uma estimativa muito boa de . Um esquema geral do algoritmo é mostrado na Figura 5.3. $\Theta (t^2)$ $\varphi$

Para aprimorar nossa intuição sobre o funcionamento da estimativa de fase, suponha que possa ser expresso exatamente como int bits, como . Então o estado (5.20) resultante do primeiro estágio da estimativa de fase pode ser reescrito $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t - 1} φ_{t} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{t} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
O segundo estágio da estimativa de fase é aplicar a transformada de Fourier quântica inversa. Mas comparando a equação anterior com a forma do produto para a transformada de Fourier, Equação (5.4), vemos que o estado de saída do segundo estágio é o estado do produto . Uma medida na base computacional, portanto, nos dá exatamente! $|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

Resumindo, o algoritmo de estimativa de fase permite estimar a fase de um autovalor de um operador unitário , dado o vetor correspondente . Uma característica essencial no coração deste procedimento é a capacidade da transformação inversa de Fourier para realizar a transformação $\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

Vamos prosseguir daqui. Encontrei um belo diagrama de circuitos para o algoritmo HHL09 aqui ^{[ ] $\dagger$} :

Etapa 1 (estimativa de fase):

No primeiro passo do algoritmo HHL09 o mesmo conceito (do algoritmo padrão Quantum fase de estimativa como descrito em Nielsen e Chuang) é usado. No entanto, devemos ter em mente que por si só não é um operador unitário. No entanto, se assumirmos que é Hermitian então o exponencial é unitária (não se preocupe, há existe uma solução alternativa no caso de não é Hermitian!). $A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

Aqui, podemos escrever . Há outro ponto sutil envolvido aqui. Nós não sabemos os autovetores de antemão (mas nós sabemos que para qualquer matriz unitária de tamanho existem autovetores ortonormais). Além disso, precisamos lembrar a nós mesmos que, se os autovalores de forem , os autovalores de serão . Se compararmos isso com a forma de autovalores dados em Nielsen e Chuang para isto é, se $U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ , encontraríamos . Neste caso, começamos no estado (o qual pode ser escrito como uma superposição dos vectores próprios de isto é ) em vez de qualquer vetor próprio de , no que diz respeito ao segundo registro de qubits. Se tivéssemos começado no estado , teríamos terminado com ie (considerando que $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ é o valor próprio associado ao vetor próprio de ). Agora, se começarmos pela superposição de vetores próprios , devemos terminar com . $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Questão:

Parte 1 : No artigo do HHL09 , eles escreveram sobre o estado do sistema após a etapa de Estimativa de Fase ser . No entanto, pelo que escrevi acima, parece-me que o estado do sistema deveria ser . $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

O que estou perdendo aqui? Onde o fator desapareceu em seu algoritmo? $\frac{t}{2\pi}$

Edit: A Parte 2 foi solicitada aqui para tornar as perguntas individuais mais focadas.

^{Também tenho várias confusões sobre as Etapas 2 e 3 do algoritmo HHL09, mas decidi publicá-las como threads de perguntas separadas, pois esta está se tornando muito longa. Vou adicionar os links a esses tópicos de perguntas, neste post, depois que eles forem criados.}

[ ]: experimentos de criptografia homomórfica na plataforma de computação em nuvem da IBM em nuvem Huang et al. (2016) $\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Sanchayan Dutta
fonte

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@Nelimee Que vem da fórmula . Denota o número de qubits no "primeiro registro" necessário para representar cada ou com bits de precisão e com precisão. Btw, observe que parte da pergunta foi deslocada para aqui .

6

$6$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

— Sanchayan Dutta

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Depende dos papéis, mas vi duas abordagens:

Na maioria dos artigos que li sobre o algoritmo HHL e sua implementação, o tempo de evolução hamiltoniano é modo que esse fator desapareça, ou seja, . $t$ $t = t_0 = 2\pi$
O valor próprio aproximado é geralmente escrito . Em alguns trabalhos, essa notação realmente significa "a aproximação do verdadeiro autovalor " e, em outros trabalhos, parece incluir nessa definição, ou seja, " é a aproximação do valor de ". $\tilde \lambda$ $\lambda$ $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ $\frac{\lambda t}{2\pi}$

Aqui estão alguns links:

Algoritmos de sistemas lineares quânticos: um primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) : um artigo completo e muito bom sobre o algoritmo HHL e algumas melhorias descobertas. O artigo é de 22 de fevereiro de 2018. O valor de seu interesse é abordado pela primeira vez na página 30, na legenda da Figura 5, e é fixado em . $t$ $2\pi$
Projeto de circuito quântico para resolver sistemas lineares de equações (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2013) (pegue a v2 e não a v3): uma implementação detalhada do algoritmo HHL para uma matriz 4x4 fixa. Se você planeja usar o artigo, avise-o de que existem alguns erros nele. Posso fornecer os que encontrei se estiver interessado. O valor de (que é indicado como neste artigo) é fixado em na segunda página (no início da coluna da direita). $t$ $t_0$ $2\pi$
Computação quântica experimental para resolver sistemas de equações lineares (Cai, Weedbrook, Su, Chen, Gu, Zhu, Li, Liu, Lu & Pan, 2013) : uma implementação do algoritmo HHL para uma matriz 2x2 em uma configuração experimental. Eles corrigem na legenda da Figura 1. $t = 2\pi$
Realização experimental do algoritmo quântico para resolver sistemas lineares de equações (Pan, Cao, Yao, Li, Ju, Peng, Kais & Du, 2013) : implementação de HHL para uma matriz 2x2. A implementação é semelhante à apresentada no segundo ponto acima, com a matriz 4x4. Eles corrigem na página 3, ponto de marcador n ° 2. $t_0 = 2\pi$

— Nelimee
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O que estou perdendo aqui? Onde o fator desapareceu em seu algoritmo? $\frac{t}{2\pi}$

Lembre-se de que, na notação Dirac, o que você escreve dentro do ket é um rótulo arbitrário que se refere a algo mais abstrato. Portanto, é verdade que você está encontrando o vetor próprio (aproximado) para , que tem valor próprio e, portanto, o que você está extraindo é , mas isso é o mesmo que o vetor próprio de com valor próprio , e é o que está sendo referido na notação. Mas se você quiser ser bem claro, pode escrever como $U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

| autovetor aproximado de para o qual o autovalor é e de para o qual autovalor se , $U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

mas talvez, em vez de escrever isso toda vez, possamos escrever por de brevidade! $|\tilde\lambda\rangle$

— DaftWullie
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