Algoritmo quântico para sistemas lineares de equações (HHL09): Etapa 1 - Confusão quanto ao uso do algoritmo de estimativa de fase


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Estou tentando entender o famoso algoritmo Quantum (?) Para sistemas de equações lineares (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (mais conhecido popularmente como o algoritmo HHL09 ) há algum tempo, agora.

Na primeira página, eles dizem :

Esboçamos aqui a idéia básica do nosso algoritmo e, em seguida, discutimos mais detalhadamente na próxima seção. Dado um Hermitian matriz , e uma unidade de vetor , suponha que nós gostaríamos de encontrar satisfazendo . (Discutimos questões de eficiência posteriores, bem como como as suposições que fizemos sobre e podem ser relaxadas.) Primeiro, o algoritmo representa como um estado quântico . Em seguida, usamos técnicas de simulação hamiltoniana [3, 4] para aplicar aA b x A x = b A b b | b = Σ N i = 1 b i | i e i A t | b it A | b Um λ j Σ j = N j = 1 β j | você jN×NAbxAx=bAbb|b=i=1Nbi|ieiAt|bipara uma superposição de tempos diferentes . Essa capacidade de exponenciar traduz, por meio da conhecida técnica de estimativa de fase [5–7], na capacidade de decompor na base própria de e encontrar os valores próprios correspondentes Informalmente, o estado do O sistema após este estágio está próximo de , em que é a base do vetor próprio de e .tA|bAλju j A | b = Σ j = N j = 1 β j | u jj=1j=Nβj|uj|λjujA|b=j=1j=Nβj|uj

Por enquanto, tudo bem. Conforme descrito em Nielsen & Chuang no capítulo " A transformada quântica de Fourier e suas aplicações ", o algoritmo de estimativa de fase é usado para estimar em que é o valor próprio correspondente a um vetor próprio do operador unitária .e i 2 pi φ | u Uφei2πφ|uU

Aqui está a parte relevante da Nielsen & Chuang:

O algoritmo de estimativa de fase usa dois registros. O primeiro registro contém qubits inicialmente no estado . A escolha de depende de duas coisas: o número de dígitos de precisão que desejamos ter em nossa estimativa para e com que probabilidade desejamos que o procedimento de estimativa de fase seja bem-sucedido. A dependência de dessas quantidades emerge naturalmente da análise a seguir.| 0 t φ tt|0tφt

O segundo registro começa no estado e contém quantos qubits são necessários para armazenar . A estimativa de fase é realizada em dois estágios. Primeiro, aplicamos o circuito mostrado na Figura 5.2. O circuito começa aplicando uma transformação Hadamard ao primeiro registro, seguida pela aplicação de operações controladas no segundo registro, com elevado a potências sucessivas de dois. O estado final do primeiro registro é facilmente visto como sendo:| u U U|u|uUU

12t/2(|0+exp(2πi2t1φ)|1)(|0+exp(2πi2t2φ)|1)...(|0+exp(2πi20φ)|1)=12t/2k=02t1exp(2πiφk)|k

insira a descrição da imagem aqui

O segundo estágio da estimativa de fase é aplicar a transformada de Fourier quântica inversa no primeiro registro. Isso é obtido revertendo o circuito para a transformada quântica de Fourier na seção anterior (Exercício 5.5) e pode ser feito nas etapas . O terceiro e último estágio da estimativa de fase é ler o estado do primeiro registro fazendo uma medição na base computacional. Mostraremos que isso fornece uma estimativa muito boa de . Um esquema geral do algoritmo é mostrado na Figura 5.3.φΘ(t2)φ

Para aprimorar nossa intuição sobre o funcionamento da estimativa de fase, suponha que possa ser expresso exatamente como int bits, como . Então o estado (5.20) resultante do primeiro estágio da estimativa de fase pode ser reescritoφ = 0. φ 1 . . . φ tφφ=0.φ1...φt

12t/2(|0+exp(2πi0.φt|1)(|0+exp(2πi0.φt1φt|1)...(|0+exp(2πi0.φ1...φt|1)

O segundo estágio da estimativa de fase é aplicar a transformada de Fourier quântica inversa. Mas comparando a equação anterior com a forma do produto para a transformada de Fourier, Equação (5.4), vemos que o estado de saída do segundo estágio é o estado do produto . Uma medida na base computacional, portanto, nos dá exatamente!|φ1...φtφ

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Resumindo, o algoritmo de estimativa de fase permite estimar a fase de um autovalor de um operador unitário , dado o vetor correspondente . Uma característica essencial no coração deste procedimento é a capacidade da transformação inversa de Fourier para realizar a transformaçãoφU|u

12t/2j=02t1exp(2πiφj)|j|u|φ~|u

Vamos prosseguir daqui. Encontrei um belo diagrama de circuitos para o algoritmo HHL09 aqui [ ] :

insira a descrição da imagem aqui

Etapa 1 (estimativa de fase):

No primeiro passo do algoritmo HHL09 o mesmo conceito (do algoritmo padrão Quantum fase de estimativa como descrito em Nielsen e Chuang) é usado. No entanto, devemos ter em mente que por si só não é um operador unitário. No entanto, se assumirmos que é Hermitian então o exponencial é unitária (não se preocupe, há existe uma solução alternativa no caso de não é Hermitian!). AAeiAtA

Aqui, podemos escrever . Há outro ponto sutil envolvido aqui. Nós não sabemos os autovetores de antemão (mas nós sabemos que para qualquer matriz unitária de tamanho existem autovetores ortonormais). Além disso, precisamos lembrar a nós mesmos que, se os autovalores de forem , os autovalores de serão . Se compararmos isso com a forma de autovalores dados em Nielsen e Chuang para isto é, se U=eiAt|ujUN×NNAλjeiAteiλjtUe2πiφeiλjt, encontraríamos . Neste caso, começamos no estado (o qual pode ser escrito como uma superposição dos vectores próprios de isto é ) em vez de qualquer vetor próprio de , no que diz respeito ao segundo registro de qubits. Se tivéssemos começado no estado , teríamos terminado com ie (considerando que | bUφ=λjt2π|bUj=1j=Nβj|uj|ujU|u(|0)t|u|φ~|uj|λjt2π~λjé o valor próprio associado ao vetor próprio de ). Agora, se começarmos pela superposição de vetores próprios , devemos terminar com .|ujAj=1j=Nβj|ujj=1j=Nβj|uj|λjt2π~

Questão:

Parte 1 : No artigo do HHL09 , eles escreveram sobre o estado do sistema após a etapa de Estimativa de Fase ser . No entanto, pelo que escrevi acima, parece-me que o estado do sistema deveria ser .j=1j=Nβj|uj|λ~jj=1j=Nβj|uj|λjt2π~

O que estou perdendo aqui? Onde o fator desapareceu em seu algoritmo?t2π

Edit: A Parte 2 foi solicitada aqui para tornar as perguntas individuais mais focadas.


Também tenho várias confusões sobre as Etapas 2 e 3 do algoritmo HHL09, mas decidi publicá-las como threads de perguntas separadas, pois esta está se tornando muito longa. Vou adicionar os links a esses tópicos de perguntas, neste post, depois que eles forem criados.

[ ]: experimentos de criptografia homomórfica na plataforma de computação em nuvem da IBM em nuvem Huang et al. (2016)


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@Nelimee Que vem da fórmula . Denota o número de qubits no "primeiro registro" necessário para representar cada ou com bits de precisão e com precisão. Btw, observe que parte da pergunta foi deslocada para aqui . 6| λj| λjtt=3+log2(2+12(0.1))=3+3=6|λj390%|λjt2π390%
Sanchayan Dutta

Respostas:


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Depende dos papéis, mas vi duas abordagens:

  1. Na maioria dos artigos que li sobre o algoritmo HHL e sua implementação, o tempo de evolução hamiltoniano é modo que esse fator desapareça, ou seja, .t = t 0 = 2 πtt=t0=2π

  2. O valor próprio aproximado é geralmente escrito . Em alguns trabalhos, essa notação realmente significa "a aproximação do verdadeiro autovalor " e, em outros trabalhos, parece incluir nessa definição, ou seja, " é a aproximação do valor de ". Xλ~λt2πλ~λt2π

Aqui estão alguns links:

  1. Algoritmos de sistemas lineares quânticos: um primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) : um artigo completo e muito bom sobre o algoritmo HHL e algumas melhorias descobertas. O artigo é de 22 de fevereiro de 2018. O valor de seu interesse é abordado pela primeira vez na página 30, na legenda da Figura 5, e é fixado em .t2π

  2. Projeto de circuito quântico para resolver sistemas lineares de equações (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2013) (pegue a v2 e não a v3): uma implementação detalhada do algoritmo HHL para uma matriz 4x4 fixa. Se você planeja usar o artigo, avise-o de que existem alguns erros nele. Posso fornecer os que encontrei se estiver interessado. O valor de (que é indicado como neste artigo) é fixado em na segunda página (no início da coluna da direita).tt02π

  3. Computação quântica experimental para resolver sistemas de equações lineares (Cai, Weedbrook, Su, Chen, Gu, Zhu, Li, Liu, Lu & Pan, 2013) : uma implementação do algoritmo HHL para uma matriz 2x2 em uma configuração experimental. Eles corrigem na legenda da Figura 1.t=2π

  4. Realização experimental do algoritmo quântico para resolver sistemas lineares de equações (Pan, Cao, Yao, Li, Ju, Peng, Kais & Du, 2013) : implementação de HHL para uma matriz 2x2. A implementação é semelhante à apresentada no segundo ponto acima, com a matriz 4x4. Eles corrigem na página 3, ponto de marcador n ° 2.t0=2π


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O que estou perdendo aqui? Onde o fator desapareceu em seu algoritmo?t2π

Lembre-se de que, na notação Dirac, o que você escreve dentro do ket é um rótulo arbitrário que se refere a algo mais abstrato. Portanto, é verdade que você está encontrando o vetor próprio (aproximado) para , que tem valor próprio e, portanto, o que você está extraindo é , mas isso é o mesmo que o vetor próprio de com valor próprio , e é o que está sendo referido na notação. Mas se você quiser ser bem claro, pode escrever comoe - i λ t λ t / ( 2 π ) A λUeiλtλt/(2π)Aλ

| autovetor aproximado de para o qual o autovalor é e de para o qual autovalor se ,e - i λ t A λ UeiλtAλ

mas talvez, em vez de escrever isso toda vez, possamos escrever por de brevidade!|λ~

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