A equivalência local de Clifford tem uma representação gráfica direta para estados gráficos qudit de dimensão não primária?

Esta pergunta é um acompanhamento da pergunta anterior do QCSE: " Os estados do gráfico qudit estão bem definidos para a dimensão não primária? ". A partir da resposta da pergunta, parece que não há nada errado em definir estados gráfico usando $d$ qudits dimensionais, no entanto, parece que outros aspectos de definição de Graph-estados não semelhante estender-se a dimensão não-prime.

Especificamente, para estados de gráfico de qubit, um aspecto chave de sua prevalência e uso é o fato de que: quaisquer dois estados de gráfico são equivalentes a Clifford local, se e somente se houver alguma sequência de complementações locais que leva um gráfico ao outro (para simplificar, gráficos não direcionados). Escusado será dizer que esta é uma ferramenta incrivelmente útil nas análises de correção quântica de erros, emaranhamento e arquiteturas de rede.

Ao considerar estados gráfico -qudit, o gráfico é equivalente agora ponderados com matriz de adjacência Um ∈ Z n x n d , em que A i j é o peso da aresta ( i , j ) (com um i j = 0 indicando que não há borda existe ) No caso qudit, demonstrou-se que a equivalência de LC pode ser estendida de maneira semelhante pela generalização da complementação local ( ∗ a v ) e pela inclusão de uma operação de multiplicação de arestas ( ∘ b$n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$), Em ondea,b=1,…,d-1e toda aritmética é realizada módulop.

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ $a, b = 1, \ldots, d-1$$p$

Graficamente, isso é representado pelas seguintes operações (reproduzidas da Ref. 2 ):

No entanto, se o estado do gráfico for definido em qudits de dimensão não primária, podemos ver que essas operações (parecem) falham em representar a equivalência de LC.

$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

Minha pergunta é: existe algum conjunto de operações gráficas que representem adequadamente a equivalência local de Clifford para estados de gráfico qudit de dimensão não primária?

Nota: Estou interessado principalmente em operações que se aplicam diretamente à representação de um estado como um gráfico ponderado único, em vez de decomposições possíveis em vários estados gráficos de dimensões primárias, conforme sugerido na seção 4.3 de " Estados do gráfico de qudit absolutamente emaranhados ".

$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

As tabelas de adição, multiplicação e conjugação são as seguintes:

$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$