Estimativa da fase quântica e algoritmo HHL - conhecimento dos valores próprios necessários?

O algoritmo de estimativa de fase do quantum (QPE) calcula uma aproximação do valor próprio associado a um dado vector próprio de um portão quântico $U$ .

Formalmente, vamos $\left|\psi\right>$ ser um autovetor de $U$ , QPE nos permite encontrar $\vert\tilde\theta\rangle$ , o melhor $m$ bits de aproximação $\lfloor2^m\theta\rfloor$ tais que $\theta \in [0,1)$ e

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

O algoritmo HHL ( artigo original ) assume como entrada uma matriz $A$ que satisfaz

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$ e um estado quântico

| b ⟩

$\vert b \rangle$ e calcula

| x ⟩

$\vert x \rangle$ que codifica a solução do sistema linear

A x = b

$Ax = b$ .

Observação : Cada matriz transposta conjugada statisfy a condição em $A$ .

Para fazer isso, o algoritmo HHL usa o QPE na porta quântica representada por $U = e^{iAt}$ . Graças aos resultados de álgebra linear, sabemos que, se $\left\{\lambda_j\right\}_j$ são os valores próprios de $A$ , em seguida, $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ são os valores próprios de $U$ . Esse resultado também é afirmado nos algoritmos de sistemas lineares quânticos: um primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (página 29, entre as equações 68 e 69).

Com a ajuda de QPE, o primeiro passo do algoritmo HLL vai tentar estimar , tal que . Isso nos leva à equação $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$ ie

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

Analisando um pouco as implicações das condições

, concluí que se

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

(ou seja,

), o algoritmo de estimativa de fase falha em prever o valor próprio correto.

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

Porém, como pode ser qualquer matriz eremita, podemos escolher livremente seus autovalores e, particularmente, poderíamos escolher autovalores arbitrariamente grandes para modo que o QPE falhe ( $A$ $A$ ). $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

No Projeto de Circuitos Quânticos para Resolução de Sistemas Lineares de Equações (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2012), eles resolvem esse problema simulando , sabendo que os autovalores desão. Elesnormalizadosda matriz (e os seus valores próprios) para evitar o caso onde $e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ . $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

Por outro lado, parece que o parâmetro poderia ser usado para fazer essa normalização. $t$

$A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nelimee
fonte

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

$A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

Dentro dos valores de , , se você estiver preocupado com uma matriz grande (por exemplo, qubits), enquanto a soma da linha pode ser fácil de calcular (porque não há muitas entradas), o máximo de todas as linhas pode demorar tempo (porque há linhas), haverá várias maneiras de obter boas aproximações (por exemplo, amostragem ou uso do conhecimento da estrutura do problema). Na pior das hipóteses, você provavelmente pode usar a pesquisa de Grover para acelerar um pouco. $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
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Grover não é uma melhoria: mesmo que possamos usar o algoritmo, ainda precisaremos de consultas , que destroem a melhoria exponencial do HHL em relação aos métodos clássicos e o substituem por uma aceleração quadrática. Portanto, a única esperança que resta é amostrar (introduzir outra fonte de erros) ou rezar e esperar que o problema nos permita estimar os limites superior / inferior. Parece uma grande falha do algoritmo para mim.

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee 04/07

Claro, eu só queria dizer que Grover oferece uma aceleração de raiz quadrada em comparação com a maneira ingênua de obter o máximo. Claro que isso tem um impacto ruim no tempo de execução geral.

— DaftWullie