O grupo Pauli para qubits é uma base para ?

O grupo Pauli para qubits é definido como , ou seja, o grupo que contém todos os possíveis produtos tensores entre matrizes Pauli. É claro que as matrizes de Pauli formam uma base para os espaços vetoriais matriciais complexos , isto é . Além disso, a partir da definição do produto tensorial, sabe-se que o grupo Pauli com qubit formará uma base para o espaço do produto tensorial .L n = { I , X , Y , Z } ⊗ n n 2 × 2 C 2 × 2 N ( C 2 × 2 ) ⊗ $n$$G_n=\{I,X,Y,Z \}^{\otimes n}$$n$$2\times 2$$\mathbb{C}^{2\times 2}$$n$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}$

Gostaria de saber se o grupo Pauli em -qubits forma uma base para o complexo espaço vetorial em que os elementos desse espaço tensor do produto atuam, ou seja, . Resumindo, a pergunta seria: verdade?C 2 n × 2 n ( C 2 × 2 ) ⊗ n = C 2 n × 2 $n$$\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}=\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$

Eu tenho tentado provar isso usando argumentos sobre as dimensões dos dois espaços, mas ainda não consegui nada.

Sim, o conjunto de produtos tensores de todos os operadores Pauli possíveis (incluindo ) forma uma base ortogonal para o espaço vetorial de matrizes complexas. Então, veja isso primeiro, notamos que o espaço tem uma dimensão de e também temos vetores (os vetores são operadores neste caso). Então, só precisamos mostrar que eles são linearmente independentes.I 2 n × 2 n 4 n 4 $n$$I$$2^n \times 2^n$$4^n$$4^n$

Na verdade, podemos mostrar algo mais forte. Pode-se ver facilmente que os membros do grupo Pauli são ortogonais sob o produto interno Hilbert-Schmidt. O produto interno HS de duas matrizes é definido como . Podemos facilmente verificar a partir da definição que o grupo Pauli é um conjunto mutuamente ortogonal sob esse produto interno. Simplesmente precisamos usar a propriedade elementar . T r ( C ⊗ D ) = T r ( C ) T r ( D $Tr(AB^\dagger)$$Tr(C \otimes D) = Tr(C)Tr(D)$