Os estados quânticos são vetores unitários ... em relação a qual norma?

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A definição mais geral de um estado quântico que encontrei é (reformulando a definição da Wikipedia )

Os estados quânticos são representados por um raio em um espaço Hilbert finito ou infinito sobre os números complexos.

Além disso, sabemos que, para ter uma representação útil, precisamos garantir que o vetor que representa o estado quântico seja um vetor unitário .

Mas na definição acima, eles não precisam a norma (ou o produto escalar) associado ao espaço de Hilbert considerado. À primeira vista, pensei que a norma não era realmente importante, mas ontem percebi que a norma foi escolhida em toda parte como a norma euclidiana (2-norma). Até a notação bra-ket parece ser feita especificamente para a norma euclidiana.

Minha pergunta: por que a norma euclidiana é usada em todos os lugares? Por que não usar outra norma? A norma euclidiana tem propriedades úteis que podem ser usadas na mecânica quântica que outras não?

— Nelimee
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Na verdade, eu só queria adicionar um comentário, mas não tenho reputação: observe que, ao escrever sua pergunta - os estados quânticos são raios no espaço de Hilbert. Isso significa que eles não são normalizados, mas todos os vetores no espaço Hilbert que apontam na mesma direção são equivalentes. É mais conveniente trabalhar com estados normalizados, mas a física está realmente oculta na sobreposição dos estados entre si. É por esse motivo que não há norma presente na definição de um estado.

— Omri Har-Shemesh

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A regra de Born afirma que que é a probabilidade de encontrar o sistema quântico no estado após uma medição. Precisamos que a soma (ou integral!) De todo seja 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Nenhuma dessas normas é válida porque não é homogênea . Você pode torná-los homogêneos simplesmente fazendo a raiz quadrada:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

e você pode reconhecer isso como a norma euclidiana e uma generalização da norma euclidiana para um domínio não discreto. Também poderíamos usar uma norma diferente:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

para alguma matriz / função definida positiva A.

No entanto, um-norm comnão seria tão útil porque, por exemplo: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

não precisa ser 1.

Dessa maneira, a norma euclidiana é especial porque 2 é o poder no domínio de Born, que é um dos postulados da mecânica quântica.

— user1271772
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Esta resposta está relacionada ao meu comentário no @ DaftWullie . Portanto, a norma euclidiana é usada porque o postulado da medição nos diz que é a única forma- válida.

p

$p$

— Nelimee 13/07

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É a única norma-p que é significativa. Queremos que a soma das probabilidades seja 1 (que é uma lei da matemática) e as probabilidades são definidas pelo quadrado da função de onda (que é um postulado da mecânica quântica chamada regra de Born).

— user1271772

@Elimee: Obrigado pela sua mensagem no chat. Não consigo responder porque fui banido do chat por mais dois dias. O motivo da primeira resposta foi porque li suas perguntas "Por que a norma euclidiana é usada em todos os lugares? Por que não usar outra norma?" e imediatamente considerou um caso em que uma norma válida não é a norma euclidiana, mas uma norma 2 diferente, que é uma norma 2 em um conjunto de variáveis não discretas. Eu pensei que isso era suficiente para explicar que a norma euclidiana não é a única norma válida e por que a norma euclidiana é usada quando é. Mas quando eu notei que daftwullie recebeu o voto positivo e não o fiz, eu

— #

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então sua resposta é "por causa da regra de Born"? Isso não muda a pergunta para "por que o governo de Born usa o poder de 2?"?

— DaftWullie

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Parece um "o que veio primeiro, a galinha ou o ovo?" caso.

— user1271772

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Alguma terminologia parece um pouco confusa aqui. Os estados quânticos são representados (dentro de um espaço Hilbert dimensional finito) por vetores complexos de comprimento 1, onde o comprimento é medido pela norma euclidiana. Eles não são unitários, porque unitário é uma classificação de uma matriz, não um vetor.

Os estados quânticos são alterados / evoluídos de acordo com alguma matriz. Dado que os estados quânticos têm comprimento 1, é necessário e suficiente que os mapas de estados puros para estados puros sejam descritos por matrizes unitárias. Estas são as únicas matrizes que preservam a norma (euclidiana).

É certamente uma pergunta válida "poderíamos usar uma norma ( ) diferente para nossos estados quânticos?" Se você classificar as operações que mapeiam estados normalizados para estados normalizados, elas serão incrivelmente limitadas. Se , as únicas operações válidas são matrizes de permutação (com fases diferentes em cada elemento). A física seria muito mais chata. $p$ $p\neq 2$

Uma boa maneira de entender isso é tentar desenhar um conjunto de eixos 2D. Desenhe nele as formas correspondentes ao conjunto de pontos de comprimento 1 sob diferentes n- . fornece o círculo, fornece um diamante e fornece um quadrado. Quais operações você pode fazer para mapear a forma para si mesma? Para o círculo, é qualquer rotação. Para qualquer outra coisa, são apenas rotações por múltiplos de . O seguinte é da Wikipedia: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Se você quiser mais detalhes, consulte aqui .

— DaftWullie
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Obrigado pelas precisões terminológicas! Você está certo, eu usei mal os termos.

— Nelimee

No entanto, a questão é muito bem contanto que você substituir "unitário" por "vetor de unidade"

— user1271772

Mas essa resposta não responde por que usamos a norma euclidiana. Entendi que as outras normas não são convenientes, mas na verdade não temos o controle sobre o que é "conveniente" dentro das leis da física e o que não é, não é?

— Nelimee

@Nimimee Não é inconveniente. É que muitas operações não existem se você não usar a norma 2. Operações como a raiz quadrada de não, que podemos executar, fazer um experimento e observar. Portanto, isso exclui tudo, exceto a norma 2

— DaftWullie 13/07/18

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como com toda a física! Todas as teorias são isso, teorias que melhor se ajustam aos dados disponíveis.

— DaftWullie

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Mais matematicamente, porque com uma norma é um espaço de Hilbert apenas para . $\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Federico Poloni
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Votou sua resposta (que é uma ótima primeira resposta ao QCSE!), Mas precisa ser uma norma 2? Você está dizendo que 1-norma e 3-norma são inválidas, mas e a norma na minha resposta, que é o quadrado da 2-norma?

— user1271772

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@ user1271772 Obrigado! Se bem entendi, a função que você sugere nem é uma norma vetorial, porque não é homogênea.

— Federico Poloni

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De qualquer forma, o que você sugere é verdade: pode-se construir uma estrutura espacial de Hilbert com uma norma diferente da norma (embora não com a norma no lugar da norma 2). O exemplo mais simples é: escolha qualquer matriz definida positiva e aceite a norma .

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

— Federico Poloni

é homogêneo positivo com , por que tem que ser com ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— user1271772

@ user1271772 é um requisito na definição. Um dos axiomas das normas vetoriais é 2. p (av) = | a | p (v) (sendo absolutamente homogêneo ou absolutamente escalável) (verifique, para uma referência rápida, a página da Wikipedia que eu vinculei acima). Claro, isso é apenas um argumento tautológico "porque é definido dessa maneira", e eu entendo que um físico pode querer uma razão mais física.

k = 1

$k=1$

— Federico Poloni

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Um argumento elegante pode ser derivado perguntando quais teorias podemos construir, descritas por vetores , onde as transformações permitidas são mapas lineares , as probabilidades são dada por alguma norma, e as probabilidades devem ser preservadas por esses mapas. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Acontece que existem basicamente apenas três opções:

Teorias determinísticas. Então não precisamos desses vetores, já que estamos sempre em um estado específico, ou seja, os vetores são e similares, e os são apenas permutações. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Teorias probabilísticas clássicas. Aqui, usamos os mapas -norm e estocásticos. O são probabilidades. $1$ $v_i$
Mecânica quântica. Aqui, usamos as transformações -norm e unitárias. O são amplitudes. $2$ $v_i$

Essas são as únicas possibilidades. Para outras normas, não existem transformações interessantes.

Se você deseja uma explicação mais detalhada e agradável sobre isso, a "Computação Quântica desde Demócrito", de Scott Aaronson, tem uma palestra sobre isso e um artigo .

— Norbert Schuch
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As outras respostas abordaram por que em termos de qual espaço usar, mas não a ponderação. $p=2$ $L^p$

Você pode colocar uma matriz definida positiva hermitiana para que o produto interno seja . Mas isso não ganha muito. Isso ocorre porque você também pode alterar variáveis. Para facilitar, considere o caso quando é diagonal. com o caso diagonal que interpretaria como uma probabilidade em vez de . por que não mudar apenas as variáveis para . Você pode pensar nisso como funciona no espaço de pontos onde cada ponto é ponderado por . $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

Para o caso de 1 variável contínua, sim, você pode usar também. apenas pesa novamente os comprimentos. Ainda é um espaço Hilbert perfeitamente bom. Mas o problema é que a tradução deveria ser uma simetria e quebra isso. Portanto, é melhor não usar . Para alguns propósitos, essa simetria não está presente, então você tem um . $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

Em alguns casos, é útil não mudar para o formato padrão. Ele muda como você faz alguns cálculos. Por exemplo, se você estiver digitando alguns números, poderá reduzir seus erros com esse tipo de reorganização para evitar números realmente grandes ou pequenos que a sua máquina considere difíceis.

Uma coisa complicada é garantir que você acompanhe quando alterou suas variáveis e quando não. Você não deseja se confundir entre alterar para o produto interno padrão, fazer algumas variáveis unitárias e alterar voltar versus tentar fazer isso em uma única etapa. É provável que você elimine fatores de etc por engano, portanto, tenha cuidado. $\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
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A norma euclidiana em um espaço dimensional, como aqui definido , não é a única norma usada para estados quânticos. $n$

Um estado quântico não precisa ser definido em um espaço n-dimensional de Hilbert, por exemplo, os estados quânticos de um oscilador harmônico 1D são funções cuja orto-normalidade é definida por: $\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

Se obtemos: $i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

porque a probabilidade total deve ser 1.
Se , obtemos 0, significando que as funções são ortogonais. $i\ne j$

A norma euclidiana, conforme definida no link que dei, é mais para estados quânticos em variáveis discretas, onde é algum número contável. No caso acima, (que é o número possível de valores que pode ser) é incontável; portanto, a norma não se enquadra na definição dada para uma norma euclidiana em um ritmo dimensional. $n$ $n$ $x$ $n$

Também poderíamos aplicar um operador de raiz quadrada à norma acima, e ainda teríamos a propriedade necessária que , e a norma euclidiana pode ser vista como um caso especial dessa norma. , para o caso em que pode ser escolhido apenas a partir de algum número contável de valores. A razão pela qual usamos a norma acima na mecânica quântica é porque ela garante que a função de probabilidade integre a 1, que é uma lei matemática baseada na definição de probabilidade. Se você tivesse alguma outra norma que garanta que todas as leis da teoria das probabilidades sejam cumpridas, você também poderá usar essa norma. $\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$

— user1271772
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@Nelimee: Não consigo responder à sua mensagem de bate-papo "Não entendi sua resposta com 0 votos" porque fui banido do bate-papo por mais dois dias, mas que parte dessa resposta você não recebe?

— user1271772

@Nelimee? Agora estou em -1, por isso gostaria de saber qual parte não está clara #

— 3141772

O que você escreve é apenas a norma euclidiana em dimensões infinitas. Sua afirmação "A norma euclidiana em um espaço n-dimensional, conforme definido aqui, não é a única norma usada para estados quânticos". é enganoso a ponto de estar errado.

— Norbert Schuch

@Norbert. (1) este é o QUADRADO da norma euclidiana. (2) aqui é INCOMBINAMENTE infinito. Já não é n-dimensional, mesmo para n contávelmente infinito.

— user1271772

@ (1) Isso porque você esqueceu de colocar a raiz quadrada. Além disso, a raiz quadrada de é . (2) Isso não é verdade. , o espaço das funções normlized com essa norma, é um espaço separável, ou seja, tem uma base contável infinita.

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

— Norbert Schuch