Simulação Hamiltoniana com coeficientes complexos

Como parte de um algoritmo variacional, eu gostaria de construir um circuito quântico (idealmente com pyQuil ) que simule um hamiltoniano da forma:

$H = 0.3 \cdot Z_3Z_4 + 0.12\cdot Z_1Z_3 + [...] + - 11.03 \cdot Z_3 - 10.92 \cdot Z_4 + \mathbf{0.12i \cdot Z_1 Y_5 X_4}$

Quando se trata do último termo, o problema é que o pyQuil lança o seguinte erro:

TypeError: PauliTerm coefficient must be real

Comecei a mergulhar na literatura e parece um problema não trivial. Encontrei este artigo sobre Hamiltonianos quânticos universais, onde são discutidas codificações complexas e reais, bem como codificações locais. No entanto, ainda não está claro para mim como alguém praticamente implementaria algo assim. Alguém pode me dar alguns conselhos práticos sobre como resolver esse problema?

— Mark Fingerhuth
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Isso gera um erro quando você substitui i por

S_{j}^{2} * (X_{j} S_{j} X_{j})^{2}

$S_j^2*(X_j S_j X_j)^2$

— AHusain

Lembre-se de que um hamiltoniano deve ser hermitiano. Isso é verdade apenas se os coeficientes forem reais.

— DaftWullie

Eu posso estar usando uma definição diferente para

que você é. Mas o ponto é que você pode encontrar alguma combinação que resulta em

S

$S$

i I d_{2}

$i Id_2$

— AHusain

Você não tem outro termo em algum lugar

, que é o conjugado hermitiano?

\dots

$\cdots$

H = i A B - i B^{†} A^{†}

$H = i A B - i B^\dagger A^\dagger$

— AHusain

Ou são todos os termos do formulário que os cancelam?

— AHusain

Respostas:

Um hamiltoniano convencional é hermitiano. Portanto, se contiver um termo não eremita, também deverá conter seu conjunto eremita como outro termo ou ter 0 peso. Nesse caso em particular, como é o próprio hermitiano, o coeficiente teria que ser 0. Portanto, se você está falando de hamiltonianos convencionais, provavelmente cometeu um erro no cálculo. Observe que, se o conjugado hermitiano do termo não estiver presente, você não pode simplesmente consertar as coisas adicionando-o; isso lhe dará um resultado completamente diferente. $Z\otimes X\otimes Y$

Por outro lado, você pode querer implementar um hamiltoniano não hermitiano . Essas coisas existem, geralmente para a descrição de processos de ruído, mas não são tão difundidas. Você precisa incluir explicitamente a terminologia "não-eremita"; caso contrário, todos pensarão que o que você está fazendo está errado porque não é eremita, e um hamiltoniano deve ser eremita. Não estou muito familiarizado com quais recursos os vários simuladores oferecem, mas ficaria surpreso se eles tiverem o não-Hermiticity incorporado.

$i\times$ $K$ $H$

e^{- i H t + K t}

$e^{-iHt+Kt}$

e^{- i H t + K t} = \prod_{i = 1}^{N} e^{- i H δ t + K δ t}

$e^{-iHt+Kt}= \prod_{i=1}^Ne^{-iH\delta t+K\delta t}$

N δ t = t

$N\delta t=t$

e^{- i H δ t + K δ t} \approx e^{- i H δ t} e^{K δ t}

$e^{-iH\delta t+K\delta t}\approx e^{-iH\delta t}e^{K\delta t}$

N

$N$

e^{K δ t} = \cosh (δ t) I + \sinh (δ t) K .

$e^{K\delta t}=\cosh(\delta t)\mathbb{I}+\sinh(\delta t)K.$

$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $K$ $\{|\psi\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$ $\langle\psi|\psi^\perp\rangle=0$ $|\psi\rangle$ $|\alpha|^2\mathbb{I}+|\beta|^2K$ $(1-|\alpha|^2)/|\alpha|^2=\tanh(\delta t)$

— DaftWullie
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$i0.12Z_1Y_2X_3$

z=[1 0 ; 0 -1];
x=[0 1;  1  0];
y=[0 -1i; 1i 0];

z1 = kron(z,eye(4));
y2 = kron(kron(eye(2),y),eye(2));
x3 = kron(eye(4),x);

H=0.12*1i*z1*y2*x3

A saída é H:

    0     0    0 0.12    0    0     0     0
    0     0 0.12    0    0    0     0     0
    0 -0.12    0    0    0    0     0     0
-0.12     0    0    0    0    0     0     0
    0     0    0    0    0    0     0 -0.12
    0     0    0    0    0    0 -0.12     0
    0     0    0    0    0 0.12     0     0
    0     0    0    0 0.12    0     0     0

Como é uma matriz real, hermitiano significa simétrico, mas isso não é simétrico e, portanto, não é hermitiano. O triângulo superior direito não é igual ao triângulo inferior direito.

No entanto, o triângulo superior direito é o negativo do triângulo inferior direito, por isso é anti-hermitiano.

Assim, seguindo a sugestão de AHussain de adicionar a transposição do conjugado, resulta em 0. Basta executar este comando:

H + H'

e você obterá uma matriz 8x8 de zeros.

Portanto, quando você cria seu hermitiano hamiltoniano adicionando a transposição conjugada, obtém 0 para este termo e, portanto, não precisa ter nenhum coeficiente imaginário .

— user1271772
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H_{M}

$H_M$

H_{M} + H_{M}^{'}

$H_M + H_M'$

H_{M}

$H_M$

É por isso que o comentário de @ DaftWullie é confundido sem outras suposições.

— AHusain

@ MarkFingerhuth: Desculpe pelo atraso na repetição. Eu estive extremamente ocupado durante os dias e tenho chegado em casa perto da meia-noite todos os dias deste mês. Se você pode me mostrar o papel de onde vêm as equações, posso pensar em como seus resultados são fundamentalmente diferentes. Posso mudar minha resposta para dizer "PyQuil não suporta matrizes não-eremitas, mas isso não significa que um programa diferente não possa".

— user1271772

@ MarkFingerhuth: você diz "Eu o criei com base em equações de um artigo teórico" quais equações a partir de qual artigo teórico? O artigo vinculado na pergunta tem 82 páginas. Você não pode apenas me mostrar quais equações usou para gerar esse "Hamiltoniano"?

— User1271772

@ MarkFingerhuth, sim, podemos conversar off-line, no entanto, não receberei pontos por isso. Eu recebi apenas 1 voto positivo pelo meu esforço aqui, então o incentivo é baixo.

— user1271772