Como um computador quântico seria usado para resolver equações diferenciais parciais?

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Digamos que você tenha um PDE que deseja resolver.

Que tipo de algoritmo quântico você usaria para resolvê-lo? Como inserimos nosso problema em um computador quântico? Qual será a saída e de que forma?

Eu sei que algoritmos quânticos para resolver sistemas lineares (geralmente chamados de HHL, mas na verdade esse é um nome ruim, já que outras versões não são dos autores da HHL) foram listados antes, mas talvez outros métodos estejam disponíveis. Além disso, como é considerada uma sub-rotina, a saída é quântica e, a menos que você queira estatísticas dela ou a use como entrada de outro algoritmo quântico, é limitativa.

algorithm

— cnada
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Quão geral você deseja que seu PDE seja? É linear?

— AHusain

Se você tem diferentes configurações de PDEs em mente, eu gostaria de saber para cada uma. Digamos linear, por exemplo, primeiro porque acho que não linear pode ser mais difícil de fazer.

— Cnada

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Não tenho uma resposta exata para sua pergunta (se ela realmente existir); mas posso responder parte de sua pergunta relacionada à E / S a um processador quântico.

Como regra geral; Algoritmos quânticos (atualmente) não podem fornecer respostas diretas para declarações de problemas. Pelo menos por enquanto, os processadores quânticos existem como aceleradores heterogêneos com uma unidade de computação clássica. O 'acelerador quântico' se preocupa apenas com a parte do algoritmo geral que não é trivial (ou exponencial em complexidade) a ser resolvida em um computador clássico. No final, apenas uma sub-parte do programa é realmente calculada no processador quântico. (Por exemplo, o algoritmo de fatoração de Shor é, na verdade, um algoritmo de localização de período. A localização de período é uma tarefa não trivial.)

Entre várias outras razões, um dos principais problemas é a operação de entrada e saída com um processador quântico. O problema 'deve' ser expressável de forma concisa (por exemplo, uma equação). Esta equação é expressa como um circuito quântico no 'oráculo' que se preocupa principalmente com a solução da equação e o resultado da medição são registrados (tomografia). A saída também precisa de pós-processamento para realmente fazer sentido (que é novamente executado pela contraparte clássica).

ps Eu ficaria muito interessado em saber mais sobre os algoritmos quânticos de resolução de PDE; se houver um eficiente.

— viliyar
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Eu entendo o ponto de vista "geral". Não é trivial para mim como modelamos a solução de PDE em um computador quântico. Isso é direto no HHL, pois seu problema pode ser expresso como um sistema linear Ax = f quando você faz discretização. Você apenas expressa seu f como um estado quântico (sua primeira entrada), usa A em uma forma hermitiana para estimativa de fase, por exemplo (segunda entrada) e usando a sub-rotina que usa rotação e descomputação controladas (pelo menos para a versão original do HHL ) você tem sua saída como um estado quântico.

— Cnada

Isso se torna de alguma maneira eficiente no tamanho do problema, porque você usa a dimensionalidade exponencial do espaço Hilbert para codificar nas amplitudes de probabilidade da função de onda.

— Cnada

Mas gostaria de saber se existem outras maneiras / algoritmos para PDEs.

— Cnada

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Me deparei com uma abordagem para resolver equações diferenciais usando o recozimento quântico de onda D. O link está aqui: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

O método básico é derivar a energia funcional para a equação diferencial que é então minimizada em um recozimento quântico. A minimização pode usar base de elementos finitos para mapear a energia para um sub-gráfico localizado da máquina de ondas D.

$\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
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O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$