Maneira compacta de descrever o conjunto de todos os grupos estabilizadores para número fixo de qubits físicos e qubits lógicos codificados

Corrija $n$ , o número de qubits , o número de qubits lógicos codificados. Podemos encontrar um conjunto de operadores que todos mutuamente comutar e, além disso, formam um grupo . Vamos supor que o grupo seja um subgrupo do grupo Pauli. Podemos usar esses operadores para corrigir um espaço vetorial . $k$ $(n-k)$ $S$ $S$ $2^{n-k}$

Agora considere todos os grupos estabilizadores formados dessa maneira, codificando qubits em , e considere o conjunto , em que é um específico grupo estabilizador que estabiliza algum espaço vetorial dimensional . Como parametrizar explicitamente esse conjunto? Por exemplo: para e , poderíamos ter e e assim por diante para outros grupos estabilizadores distintos. $S_i$ $k$ $n$ $\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$ $S_i$ $2^{n-k}$ $n=3$ $k=1$ $S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$ $S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$

Uma maneira possível de uma solução é considerar a matriz de verificação de paridade para um específico e, em seguida, perguntar que ação de grupo poderíamos definir na matriz de verificação de paridade de para produzir a matriz de verificação de paridade para qualquer outro grupo estabilizador da mesma cardinalidade . Mas não sei como esse grupo atuaria no grupo estabilizador. No meu exemplo para acima, por exemplo, eu posso alterar para conjugando com um Hadamard, e acho que isso corresponde a uma multiplicação correta de algumas matrizes na matriz de verificação de paridade. $S_i$ $S_i$ $(n,k) = (3,1)$ $S_1$ $S_2$ $2n \times 2n$

Por causa desse exemplo, sou tentado a pensar que o que eu preciso é de conjugação de todo o grupo Clifford ou de um subgrupo dele para atuar por conjugação do , e que corresponderá a uma matriz simplética atuando nas matrizes de verificação de paridade. Nesse caso, o conjunto é parametrizado fixando um grupo estabilizador específico e atuando sobre ele por conjugação por uma representação unitária do grupo ou subgrupo Clifford. Está perto? $S_i$ $(2n \times 2n)$ $\mathcal{S}$ $S_i$

error-correction stabilizer-code

— Amara
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O que você quer exatamente? Pelo que entendi na pergunta, você está tentando representar o grupo estabilizador, representando um dos estabilizadores por meio de uma matriz simplética e os outros por algumas transfomações dessa matriz. Eu realmente não vejo a motivação de representar o grupo estabilizador dessa maneira, pois você pode representá-lo por toda a matriz de verificação de paridade, obtendo a representação simplética de cada gerador do estabilizador e, em seguida, formando uma matriz .

(n - k) \times 2 n

$(n-k)\times 2n$

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Quero, finalmente, colocar pesar cada elemento com alguma probabilidade. Assim, por exemplo, eu poderia escolher o código flip de bit com probabilidade 0,5 e o código flip de fase com probabilidade 0,5. Na realidade, o conjunto será maior e então eu preciso de uma maneira de assegurar que eu possa chegar a cada elemento no conjunto

S_{i}

$S_i$

S

$\mathcal{S}$

— Amara

Há boas e más notícias. A boa notícia é que suas intuições são essencialmente corretas e que existe uma ação desse grupo por meio do grupo Clifford. A má notícia é que, dependendo do que você deseja com essa parametrização, pode não ser tão útil quanto você espera. $\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

As boas notícias primeiro - todo grupo estabilizador Pauli em qubits, com geradores independentes , pode ser mapeado para qualquer outro grupo por conjugação dos operadores do grupo Clifford. A maneira mais simples de mostrar isso é por indução em . Se , existe apenas um desses grupos estabilizadores: o grupo trivial . Para qualquer , dado um grupo estabilizador de entrada , você pode reduzir para o caso de seguindo as seguintes etapas: $n$ $r = n-k$ $r$ $r = 0$ $\{ \mathbf 1 \}$ $r > 0$ $S$ $r-1$

Selecione qualquer gerador de do grupo estabilizador e algum qubit no qual o atue de maneira não trivial. $P_r$ $x_r$ $P_r$
Encontre um operador de grupo Clifford forma que , o operador Pauli de um qubit único que atue apenas no qubit . O operador pode envolver operadores SWAP para trocar os fatores tensores pelo qubit e . $C_r$ $C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$ $Z$ $(n-r)$ $C_r$ $x_r$ $(n-r)$
Determine como os outros geradores do grupo estabilizador se transformam em . Isso produz uma lista de geradores para o grupo . Porque é abeliano, a imagem de cada gerador, quer actua sobre qbit com ou . Neste último caso, produza um novo gerador multiplicando-o por . Como é um elemento de , isso gera um conjunto equivalente de geradores para o grupo. $C_r$ $S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$ $S'$ $(n-r)$ $\mathbf 1$ $Z$ $Z_{n-r}$ $Z_{n-r}$ $S'$

Feito isso, você tem um grupo estabilizador para um subespaço estabilizado por . Qualquer estado nesse grupo é considerado como um produto tensorial de no qubit e algum estado nos qubits restantes. Considerando o código do estabilizador definido em todos os outros qubits, você reduziu ao caso de um grupo estabilizador em qubits e com geradores . $Z_{n-r}$ $\ket{0}$ $(n-r)$ $n-1$ $r-1$

Se desempacotarmos essa prova indutiva, obteremos um procedimento recursivo para mapear qualquer código estabilizador com geradores para um circuito de Clifford que mapeie esse grupo estabilizador para o grupo específicoSe você tiver dois desses códigos e , apenas componha seus circuitos para obter um circuito que mapeie para . Existe alguma redundância, pois diferentes conjuntos de geradores do grupo estabilizador de produzirão circuitos diferentes $S$ $r$ $\mathcal C$

Z_{n, r} := ⟨ Z_{n - r}, Z_{n - r + 1}, \dots, Z_{n} ⟩ .

$\mathcal Z_{n,r} := \langle Z_{n-r}, Z_{n-r+1}, \ldots, Z_n\rangle \,.$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

C_{2}^{†} C_{1}

$\mathcal C_2^\dagger \mathcal C_1$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

S_{j}

$S_j$

C_{j}

$\mathcal C_j$ : isso corresponde ao fato de que alguns circuitos de Clifford apenas avaliam automorfismos ( isto é, unidades lógicas) do código. Mas não se preocupe: o que você tem é uma maneira de gerar qualquer código estabilizador em qubits com geradores estabilizadores a partir de um único código.

n

$n$

r

$r$

A má notícia é que, como está, tudo o que fizemos acima é para parametrizar os códigos do estabilizador por seus circuitos de codificação. Por "circuito de codificação", quero dizer apenas o circuito que assume um estado de qubit e depois codifica em um sistema de qubit, preparando qubits frescos no estado e agindo sobre eles por uma unidade apropriada. Ao reduzir um código estabilizador arbitrário com geradores para um código 'canônico' (e extremamente monótono), cujo grupo estabilizador é $k = n-r$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $n$ $r$ $\ket{0}$ $r$ $\mathcal Z_{n,r}$ , provamos nada mais ou menos do que um código estabilizador com um circuito de codificação Clifford. A descrição de códigos estabilizadores em termos da órbita de no grupo Clifford com bits não é mais ou menos do que descrever códigos em termos de seus circuitos de codificação. É um bom fato confiar, mas é mais um resultado básico do que um resultado profundo. $\mathcal Z_{n,r}$ $n$

Se você usar outro código como o código de 'referência', estará basicamente fazendo a mesma coisa, exceto precedendo esse circuito de codificação por outro circuito de Clifford. Esse ponto de vista pode ou não ser útil para você - certamente é uma boa propriedade elementar que você deve estar ciente quando estiver discutindo códigos e estados de estabilizadores com outras pessoas menos familiarizadas com eles - mas sem impor restrições adicionais sobre o que circuitos de codificação ou representações de código nos quais você está interessado ( por exemplo, para limitar os automorfismos dos códigos que você considera), meu palpite é que essa parametrização pode ter utilidade limitada. O ponto crucial, no final, será quais propriedades dos códigos do estabilizador você está preocupado.

— Niel de Beaudrap
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Então, tudo isso está dizendo é que, dado um grupo estabilizador, posso obter um ato unitário aleatório de Clifford por conjugação em cada um dos geradores e obter outro grupo estabilizador?

— Amara

Você nem precisa de nada que escrevi para conseguir isso, na verdade. Isso é verdade essencialmente pela definição do grupo Clifford. O que eu mostro é que você pode obter todos os outros grupos estabilizadores (da mesma cardinalidade e com o mesmo número de qubits do seu grupo estabilizador original) dessa maneira.

— Niel de Beaudrap 11/09/19