Por que não pode haver um erro ao corrigir o código com menos de 5 qubits?

Ultimamente, li sobre códigos de correção de erros de 9 e 7 bits e 5 bits. Mas por que não pode haver um erro quântico corrigindo código com menos de 5 qubits?

Uma prova de que você precisa de pelo menos 5 qubits (ou qudits)

Aqui está uma prova de que qualquer código de correção de erro quântico de correção de erro único ( ou seja, distância 3) possui pelo menos 5 qubits. De fato, isso generaliza para qudits de qualquer dimensão $d$ , e qualquer código quântico de correção de erros que protege um ou mais qudits da dimensão $d$ .

(Como observa Felix Huber , a prova original de que você precisa de pelo menos 5 qubits deve-se ao artigo Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] que define as condições de Knill - Laflamme: a seguir, é a técnica de prova que é mais comum nos dias de hoje.)

Qualquer código de correção de erro quântico que pode corrigir $t$ erros desconhecidos, também pode corrigir até $2t$ erros de apagamento (onde simplesmente perdemos algum qubit, ou ele se torna completamente despolarizado ou similar) se as localizações dos qubits apagados forem conhecidas. [1 segundo. III A] *. Um pouco mais geralmente, um código quântico de correção de erros de distância $d$ pode tolerar erros de apagamento $d-1$ . Por exemplo, enquanto o $[\![4,2,2]\!]$ não pode corrigir nenhum erro, em essência porque pode dizer que ocorreu um erro (e até qual tipo de erro), mas não com qual qubit ocorreu, que o mesmo código pode proteger contra um único erro de apagamento (porque por hipótese, sabemos precisamente onde o erro ocorre neste caso).

Daqui resulta que qualquer código de correção de erro quântico que possa tolerar um erro de Pauli, pode se recuperar da perda de dois qubits. Agora: suponha que você tenha um erro quântico para corrigir o código em $n \geqslant 2$ qubits, codificando um qubit contra erros de um qubit único. Suponha que você dê $n-2$ qubits a Alice e $2$ qubits a Bob: então Alice deve poder recuperar o estado codificado original. Se $n<5$ , então $2 \geqslant n-2$ , para que Bob tambémser capaz de recuperar o estado codificado original - obtendo assim um clone do estado de Alice. Como isso é descartado pelo Teorema Sem Clonagem, segue-se que devemos ter $n \geqslant 5$ .

Corrigindo erros de apagamento

* A referência mais antiga que encontrei para isso é

[1] Grassl, Beth e Pellizzari.
      Códigos para o canal Quantum Erasure .
      Phys. Rev. A 56 (pp. 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- que não demora muito tempo depois que as condições de Knill – Laflamme foram descritas em [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] e, portanto, plausivelmente, a prova original da conexão entre a distância do código e os erros de apagamento. O esquema é o seguinte e aplica-se aos códigos de correção de erros da distância $d$ (e aplica-se igualmente aos qudits de qualquer dimensão no lugar dos qubits, usando operadores Pauli generalizados).

• A perda de $d-1$ qubits pode ser modelada por aqueles qubits sujeitos ao canal completamente despolarizante, que por sua vez pode ser modelado por aqueles qubits sujeitos a erros Pauli uniformemente aleatórios.

• Se os locais desses $d-1$ qubits fossem desconhecidos, isso seria fatal. No entanto, como suas localizações são conhecidas, qualquer erro de Pauli de par em $d-1$ qubits pode ser diferenciado um do outro, apelando às condições de Knill-Laflamme.

• Portanto, substituindo os qubits apagados por qubits no estado misto máximo e testando os erros de Pauli nos $d-1$ qubits especificamente (exigindo um procedimento de correção diferente do que você usaria para corrigir erros arbitrários de Pauli, lembre-se), você pode recuperar o Estado original.

O que podemos provar facilmente é que não há código menor e não degenerado .

Em um código não degenerado, é necessário ter os 2 estados lógicos do qubit e um estado distinto para cada erro possível para mapear cada estado lógico. Então, digamos que você tenha um código de 5 qubit, com os dois estados lógicos $|0_L\rangle$ e $|1_L\rangle$ . O conjunto de possíveis erros de qubit único é $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , e isso significa que todos os estados

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ deve mapear a estados ortogonais.

Se aplicarmos esse argumento em geral, ele nos mostra que precisamos de

$$2+2\times(3n)$$ estados distintos. Mas, para $n$ qubits, o número máximo de estados distintos é $2^n$ . Portanto, para um erro não degenerado, corrija o código da distância 3 (ou seja, corrija pelo menos um erro) ou superior, precisamos de $$2^n\geq 2(3n+1).$$ Isso é chamado de Quantum Hamming Bound. Você pode facilmente verificar se isso é verdade para todos os $n\geq 5$ , mas não se $n<5$. De fato, para $n=5$ , a desigualdade é uma igualdade e, como resultado, chamamos o código de 5 qubit correspondente como o código perfeito.

Como complemento da outra resposta, adicionarei o Hamming quântico geral vinculado a códigos quânticos de correção de erros não degenerados. A formulação matemática desse limite é

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ onde $n$ se refere ao número de qubits que formam as palavras de código, $k$ é o número de qubits de informação que são codificados (portanto, eles estão protegidos da decoerência), e $t$ é o número de erros de qubit- $t$ corrigidos pelo código. Como $t$ está relacionado com a distância por $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, então esse código quântico não degenerado será umcódigo de correção de erro quântico$[[n,k,d]]$. Esse limite é obtido usando um argumento semelhante ao empacotamento de esferas, de modo que$2^n$ espaço dimensional Hilbert é dividida em $2^{n-k}$cada um dos espaços distinguidos pela síndrome medida e, portanto, um erro é atribuído a cada uma das síndromes, e a operação de recuperação é realizada invertendo o erro associado a essa síndrome medida. É por isso que o número total de erros corrigidos por um código quântico não degenerado deve ser menor ou igual ao número de partições pela medição da síndrome.

No entanto, a degeneração é uma propriedade dos códigos de correção quântica de erros que implicam o fato de que existem classes de equivalência entre os erros que podem afetar as palavras de código enviadas. Isso significa que existem erros cujo efeito sobre as palavras de código transmitidas é o mesmo enquanto compartilham a mesma síndrome. Isso implica que essas classes de erros degenerados são corrigidas pela mesma operação de recuperação e, portanto, mais erros esperados podem ser corrigidos. É por isso que não se sabe se o limite quântico de Hamming é válido para esses códigos de correção de erros degenerados, pois mais erros do que as partições podem ser corrigidos dessa maneira. Consulte esta pergunta para obter algumas informações sobre a violação do limite quântico de Hamming.

Eu queria adicionar um pequeno comentário à referência mais antiga. Eu acredito que isso já foi mostrado um pouco antes na Seção 5.2 do

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

onde o resultado específico é:

Teorema 5.1. Um código quântico de correção de erros $(2^r,k)$ $e$ deve satisfazer $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ .

$(N,K)$$K$$N$$e$$e$$(2^n, 2^k)$ $e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$$k \geqslant 1$$d \geqslant 3$$[\![n,k,d]\!]$

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

( NB Há uma peculiaridade nas datas aqui: a submissão arxiv do artigo acima é abril de 1996, alguns meses antes do artigo de Grassl, Beth e Pellizzari enviado em outubro de 1996. No entanto, a data abaixo do título no pdf indica um ano antes, abril de 1995.)

Como prova alternativa, eu poderia imaginar (mas ainda não testei) que simplesmente resolver uma distribuição de peso que satisfaça as identidades de Mac-Williams também seja suficiente. Essa estratégia é realmente usada

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

para mostrar que não existe código degenerado em cinco qubits que possa corrigir erros únicos.