Por que a transformação quântica de Fourier é necessária no algoritmo de Shor?

Atualmente, estou estudando o algoritmo de Shor e estou confuso sobre a questão da complexidade. Pelo que li, o algoritmo de Shor reduz o problema de fatoração ao problema de localização de ordens ou ao período da sequência de exponenciação modular de alguns $x$ aleatórios, de modo que $1 < x < N$ .

Não tenho nenhum problema em relação à ideia do algoritmo. Mas estou me perguntando se o algoritmo de Shor cria essa sequência por quadratura repetida (que é uma maneira eficiente classicamente). No meu entendimento, o termo "eficiente" significa que a complexidade do algoritmo é polinomial no tempo.

Dado que existe uma maneira eficiente de criar a sequência classicamente, não podemos apenas adicionar uma pequena checagem se encontramos $x^{r} = 1 \ \text{mod} N$ ? Durante o processo de criação, não deve aumentar a complexidade para o tempo exponencial, certo?

Por que se preocupar com a transformada quântica de Fourier? Eu entendi errado de alguma maneira?

A característica essencial desse problema é que, embora os algoritmos quântico e clássico possam fazer uso da função clássica eficiente de calcular $a^k\text{ mod }N$ , a questão é quantas vezes cada um tem para avaliar a função.

Para o algoritmo clássico que você está sugerindo, você calcularia $a\text{ mod }N$ , $a^2\text{ mod }N$ e $a^3\text{ mod }N$ , e assim por diante, até atingir um valor repetido. Você precisa executar $r$ avaliações $r$ pode ser bastante grande. De fato, poderia ser $O(N)$ . É esse grande número de repetições que mata essa idéia para o algoritmo clássico.

Por comparação, o algoritmo quântico avalia apenas a ordem uma vez . Você precisa da Transformada quântica de Fourier para poder comparar todos os valores calculados simultaneamente, porque não é possível acessar todos esses valores de uma só vez. O QFT é o que faz toda a mágica.

$x^{r} = 1 \ \text{mod} N$

Por que se preocupar com a transformada quântica de Fourier? Eu entendi errado de alguma maneira?

$x = 2^r_{1} \ \text{mod} N$

A transformada de Fourier discreta clássica tem complexidade exponencial - no entanto, a versão quântica dessa transformação de Fourier tem complexidade polinomial. Então, precisamos nos preocupar com a transformação quântica de Fourier.