Como usar o método Lanczos para calcular valores próprios e vetores próprios

Eu tenho uma matriz esparsa e simétrica A (nxn). O método Lanczos transforma a matriz A em matriz tridiagonal e simétrica T e os vetores Lanczos na matriz V. A partir daí, como computo k autovalores menores ou maiores e autovetores correspondentes?

• Para valores próprios , basta levar maiores ou menores valores próprios de T . São boas aproximações de A , desde que o número de iterações de Lanczos seja grande comparado a k .$k$$T$$A$$k$

• As coisas são um pouco mais complicadas se também queremos autovetores .
  A maneira mais simples é multiplicar cada eigenvector de T por V para a esquerda, onde V é, como você disse, a coleção de vetores Lanczos. Mas essa abordagem é insuficiente para muitas classes de matrizes, pois os erros de arredondamento fazem com que os vetores de Lanczos percam sua ortogonalidade (1). Uma maneira melhor é re-ortogonalizar os vetores de Lanczos em V executando um passo de Gram-Schmidt. Seja z o i -ésimo vetor de Lanczos sendo computado e seja q 1 , q 2 , $\mathbf{u}_i$$T$$V$$V$
  
  $V$
  $\mathbf{z}$$i$ são os vetores Lanczos anteriores. Modificamos z para eliminar todos os componentes de z paralelos a qualquer q 1 , q 2 , ⋯ , q i - 1 : z ′ = z - i - 1 ∑ j = 1 ( z T q j ) q j Acontece que precisamos re-ortogonalizar duas vezes para garantir a ortogonalidade numérica dos vetores Lanczos (2).$\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}$$\mathbf{z}$$\mathbf{z}$$\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}$

  $$\mathbf{z}' = \mathbf{z} - \sum_{j=1}^{i-1}(\mathbf{z}^{T}\mathbf{q}_j)\mathbf{q}_j$$

Referência

1. J. Demmel, Álgebra Linear Numérica Aplicada
2. B. Parlett, O Problema de Autovalor Simétrico