Implementação do método Jacobi-Davidson para o problema de autovalor cúbico

Eu tenho um grande problema de autovalor cúbico:

(A_{0} + λ A_{1} + λ^{2} A_{2} + λ^{3} A_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Eu poderia resolver isso convertendo para um problema de autovalor linear, mas resultaria em um sistema maior: $3^2$

[\begin{matrix} - A_{0} & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

onde e . Que outras técnicas estão disponíveis para resolver um problema cúbico de autovalor? Ouvi dizer que existe uma versão do Jacobi-Davidson que a resolverá, mas não encontrou uma implementação. $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

Além disso, preciso ser capaz de direcionar valores próprios específicos de maneira semelhante ao método shift-in-invertido do ARPACK e encontrar os vetores próprios associados.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
fonte

Quais são as dimensões das matrizes envolvidas?

— Bill Barth

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ é da ordem . Eu tenho duas formulações diferentes desse problema, uma na qual é densa e na outra é esparsa.

10000 \times 10000

$10000\times 10000$

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

— OSE

O SLEPc possui rotinas para problemas quadráticos de autovalores e problemas não lineares de autovalores, para que você possa encontrar o que precisa lá. Ele também possui instalações de troca e inversão e possui uma interface para o ARPACK.

— Geoff Oxberry

Com o protocolo de comunicação reversa do ARPACK, você não precisa armazenar explicitamente a matriz : você só precisa fornecer duas funções que computam: $3n \times 3n$

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ e $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(você ainda paga o preço de armazenar os vetores tridimensionais tridimensionais, mas não paga nada pelas matrizes). $3\times n$

Com relação à transformação invertida, você pode fazer o mesmo, ou seja, implementá-la usando um retorno de chamada que calcula vez de e substitui os computados por . Para calcular , você pode pré-fatorar sua matriz , o que significa apenas pré-fatorar (usando LU, Cholesky ou versões esparsas deles, dependendo da estrutura da matriz). Para a transformação turno-inversão completa, acho que algo semelhante pode ser feito. $x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— BrunoLevy
fonte