Gostaria de executar algumas simulações simples de dispersão de pacotes de ondas a partir de potenciais simples em uma dimensão.

Existem maneiras simples de resolver numericamente o TDSE unidimensional para uma única partícula? Eu sei que, em geral, tentar usar abordagens ingênuas para integrar equações diferenciais parciais pode terminar rapidamente em desastre. Estou, portanto, procurando algoritmos que

• são numericamente estáveis,
• são simples de implementar ou têm implementações de bibliotecas de códigos facilmente acessíveis,
• correr razoavelmente rápido e espero
• são relativamente simples de entender.

Eu também gostaria de orientar relativamente os métodos espectrais, e particularmente os métodos que são pouco mais do que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo, como de costume. No entanto, eu estaria interessado em métodos pseudo-espectrais que usam splines B ou outros enfeites. Se o método pode assumir um potencial dependente do tempo, isso é definitivamente um bônus.

Obviamente, qualquer método desse tipo sempre terá várias desvantagens, então eu gostaria de ouvir sobre elas. Quando isso não funciona? Quais são as armadilhas comuns? De que maneiras ele pode ser empurrado e de que maneira não pode?

A equação de Schroedinger é efetivamente uma equação de difusão de reação (todas as constantes são 1). Quando se trata de qualquer equação diferencial parcial, há duas maneiras de resolvê-lo:

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$

1. Método implícito (adv: grandes etapas de tempo e incondicionalmente estável, disadv: requer solucionador de matriz que pode fornecer dados incorretos)
2. Método explícito (adv: fácil de implementar, desadv: requer pequenos intervalos de tempo para estabilidade)

Para equações parabólicas (linear em e 2ª ordem em ), o método implícito é muitas vezes a melhor escolha. O motivo é que a condição de estabilidade para o método explícito requer , que será muito pequeno. Você pode evitar esse problema usando o método implícito, que não tem essa limitação no intervalo de tempo (embora na prática você normalmente não o faça incrivelmente grande porque pode perder parte da física). O que descrevo a seguir é o método Crank-Nicolson , um esquema implícito comum de segunda ordem (espaço e tempo).$t$$x$$dt\propto dx^2$

Iniciantes

Para resolver computacionalmente um PDE, é necessário discretizá-lo (ajuste as variáveis ​​em uma grade). A mais direta é uma grade cartesiana retangular. A seguir, representa o índice de tempo (e é sempre um super script) o índice de posição (sempre um índice). Ao empregar uma expansão de Taylor para a variável dependente da posição, a Equação (1) se torna Onde assumimos quej i vF n + 1 j - ψ $n$$j$V=V(x)

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ $V=V(x)$. O que acontece a seguir é um agrupamento de índices espaciais e temporais (você pode verificar a matemática): Esta equação tem a forma (A0A-00⋯A+A0A-0⋯0A+A0A-⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n 1 $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ ivF n + 1 $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ que é chamada de matriz tri-diagonal e tem uma solução conhecida (além de exemplos de trabalho, incluindo um escrito por mim!). O método explícito risca todo o lado esquerdo (ou devo dizer a linha superior?) Da Equação (2), exceto pelo .$i\psi_j^{n+1}$

Problemas

O maior problema que encontrei com métodos implícitos é que eles são fortemente dependentes das condições de contorno. Se você tiver condições de contorno mal definidas / implementadas, poderá obter oscilações espúrias em suas células que podem levar a maus resultados (consulte minha publicação do SciComp sobre um tópico semelhante). Isso leva a ter uma precisão de primeira ordem no espaço, em vez da segunda que o seu esquema deve fornecer.

Métodos implícitos também são supostamente difíceis de paralelizar, mas eu os usei apenas para equações de calor 1D e não precisava de suporte paralelo, portanto não posso verificar nem negar a reivindicação.

Também não tenho certeza de como a natureza complexa da função de onda afetará os cálculos. O trabalho que eu fiz usa as equações dinâmicas dos fluidos de Euler e, portanto, é totalmente real com magnitudes não-negativas.

Potencial dependente do tempo

Se você tem um potencial analítico dependente do tempo (por exemplo, ), basta usar o tempo atual, , para o no RHS de (2) e o tempo futuro, , no LHS. Não acredito que isso possa criar problemas, mas não o testei, portanto não posso verificar ou negar esse aspecto também.t V j t + d $V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

Alternativas

Existem algumas alternativas interessantes para o método Crank-Nicolson também. O primeiro é o chamado método "super-time-stepping". Nesse método explícito, você o passo de tempo ( ) e usa as raízes dos polinômios de Chebyshev para obter um conjunto otimizado de intervalos de tempo que somam mais rapidamente do que executar as etapas vezes você obtém modo que cada passo avança você d t d t / N N Δ T = N 2 d t N N d $dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$em tempo). (Empreguei esse método na minha pesquisa porque você tem um "fluxo" bem definido de uma célula para outra que é usado para mesclar dados de um processador para outro, usando o esquema Crank-Nicolson que não consegui fazer isso).

EDITAR É importante notar que esse método é de primeira ordem preciso no tempo, mas se você usar um método Runge-Kutta 2 em conjunto, ele fornecerá um esquema preciso de segunda ordem no tempo.

O outro é chamado explícito de direção alternada . Este método requer que você tenha condições de contorno conhecidas e bem definidas. Depois, ele resolve a equação usando o limite diretamente no cálculo (não é necessário aplicá-lo após cada etapa). O que acontece nesse método é que você resolve o PDE duas vezes, uma vez para cima e outra para baixo. A varredura para cima usa enquanto a varredura para baixo usa para a equação de difusão enquanto os outros termos permaneceriam os mesmos. O passo no tempo ∂2

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ n+ $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$ é resolvido calculando a média das duas varreduras direcionais.

No início dos anos 90, estávamos procurando um método para resolver o TDSE com rapidez suficiente para fazer animações em tempo real em um PC e encontramos um método explícito surpreendentemente simples, estável e descrito por PB Visscher em Computers in Physics : " Um algoritmo explícito rápido para a equação de Schrödinger dependente do tempo ". Visscher observa que, se você dividir a função de onda em partes reais e imaginárias, , o SE se tornará o sistema:$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

Se você calcular e em momentos escalonados ( em e em , obterá a discretização:I R 0 $R$$I$$R$I 0,5 Δ t , 1,5 Δ t , . . . $0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

com (Laplaciano padrão de três pontos).

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

Isso é explícito, muito rápido de calcular e precisa de segunda ordem em .$\Delta t$

Definindo a densidade de probabilidade como

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$ em etapas de tempo inteiro e,

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$ em etapas de tempo meio inteiro

torna o algoritmo unitário, conservando a probabilidade.

Com bastante otimização de código, conseguimos obter animações muito boas computadas em tempo real em máquinas 80486. Os alunos poderiam "desenhar" qualquer potencial, escolher uma energia total e observar a evolução temporal de um pacote gaussiano.

A resposta de Kyle Kanos parece ser muito completa, mas pensei em acrescentar minha própria experiência. O método Fourier (SSFM) em etapas divididas é extremamente fácil de executar e mexer; você pode prototipá-lo em algumas linhas do Mathematica e é extremamente estável numericamente. Isso envolve transmitir apenas operadores unitários no seu conjunto de dados, para que ele automaticamente economize probabilidade / poder (o último se você estiver resolvendo as equações de Maxwell com ele, que é onde está minha experiência). Para uma equação de Schrödinger unidimensional (ou seja, apenas variação e ), é extremamente rápida, mesmo como código do Mathematica. E se você precisar acelerar, realmente precisará de um bom código FFT no idioma de destino (minha experiência está em C ++).$x$$t$

O que você estaria fazendo é uma versão disfarçada do Método de Propagação de Feixe para propagação óptica por meio de um guia de ondas de seção transversal variável (análogo aos potenciais variáveis ​​no tempo), portanto, seria útil procurar isso também.

A maneira como vejo o SSFM / BPM é a seguinte. Sua fundamentação é a fórmula do produto Trotter da teoria de Lie:

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

que às vezes é chamado de operador de equação de divisão neste contexto. Seu conjunto de dados é uma grade discreta ou de valores complexos que representam em um determinado momento . Então você imagina isso (você não precisa fazer isso; eu ainda estou falando conceitualmente) grade gritante escrita como um vetor de coluna de elemento (para uma grade , temos ) e, em seguida, sua equação de Schrödinger tem a forma:$x-y$$x-y-z$$\psi(x,y,z)$$t$$N$$\Psi$$1024\times1024$$N=1024^2=1\,048\,576$

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

onde é uma matriz enviesada-Hermitiana, um elemento de e será mapeado com o tempo crescente por um elemento daquele grupo de parâmetros . ( fator no no RHS para que eu possa falar mais facilmente em termos teóricos de Lie). Dado o tamanho de , o habitat natural dos operadores é um grupo de mentiras completamente colossal, portanto PHEW! Sim, eu ainda estou falando em termos totalmente teóricos! Agora, o que$K = \mathcal{D+V}$$N\times N$$\mathfrak{u}(N)$$\Psi$$\exp(K\,t)$$i\hbar$$K = \mathcal{D+V}$$N$$\mathfrak{U}(N)$$\mathcal{D+V}$parece? Ainda imaginando por enquanto, poderia ser pensada como uma versão de diferença finita de , em que é um potencial "médio" conveniente para o problema em questão.$i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$$V_0$

Nós deixamos:

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

Por que eu os dividi assim ficará claro abaixo.

O ponto sobre é que ele pode ser trabalhado analiticamente para uma onda plana: é um operador de multiplicação simples em coordenadas de momento. Portanto, para elaborar , aqui estão as três primeiras etapas de um ciclo SSFM / BPM:$\mathcal{D}$$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

1. Atribua FFT ao conjunto de dados para transformá-lo em um conjunto de pesos de superposição de ondas planas: agora as coordenadas da grade foram alteradas de para ;$\Psi$$\tilde{\Psi}$$x,\,y,\,z$$k_x,\,k_y,\,k_z$
2. Compartilhe simplesmente multiplicando cada ponto da grade por ;$\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$$\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$

3. Distribua FFT inverso para mapear nossa grade de volta para$\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   Agora, estamos de volta ao domínio da posição. Este é o melhor domínio para transmitir ao operador claro: aqui é um operador de multiplicação simples. Então, aqui está o seu último passo no seu ciclo algorítmico:$\mathcal{V}$$\mathcal{V}$

4. Distribua o operador simplesmente multiplicando cada ponto da grade pelo fator de fase$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$$\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

.... e então você inicia sua próxima etapa e alterna repetidamente. Claramente, é muito fácil inserir potenciais de variação temporal no código.$\Delta t$$V(x,y,z,t)$

Então você vê que simplesmente escolhe pequeno o suficiente para que a fórmula Trotter (1) entre em ação: você está simplesmente aproximando a ação do operador e você alterna com sua FFT entre coordenadas de posição e momento, ou seja, os domínios em que e são operadores simples de multiplicação.$\Delta t$$\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$$\mathcal{V}$$\mathcal{D}$

Observe que você está sempre transmitindo, mesmo no mundo discreto, operadores unitários: FFTs e fatores de fase pura.

Um ponto que você precisa ter cuidado é que, à medida que seu se torna pequeno, você deve garantir que o espaçamento da grade espacial também diminua. Caso contrário, suponha que o espaçamento da grade espacial seja . Então, o significado físico de uma etapa discreta é que os efeitos de difração estão viajando a uma velocidade ; ao simular as equações e guias de ondas de Maxwell, é necessário garantir que essa velocidade seja muito menor que . Ouso dizer que limites se aplicam à equação de Schrödinger: não tenho experiência direta aqui, mas parece divertido e talvez você possa postar seus resultados em algum momento!$\Delta t$$\Delta x$$\Delta x/\Delta t$$c$

Um segundo ponto de "experiência" com esse tipo de coisa - eu quase apostaria que é assim que você seguirá suas idéias. Muitas vezes temos idéias que queremos fazer simulações simples, rápidas e sujas, mas nunca funciona dessa maneira! Eu começaria com o SSFM, como descrevi acima, pois é muito fácil executar e você verá rapidamente se seus resultados são físicos ou não. Posteriormente, você pode usar seu código, digamos, Mathematica SSFM, para verificar os resultados de um código mais sofisticado que você pode acabar criando, digamos, um código Crank Nicolson, seguindo as linhas da resposta de Kyle Kanos .

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Limites de erro

A realização da fórmula de Dynkin do teorema de Baker-Campbell-Hausdorff:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ convergindo para alguns mostra que o método é preciso segunda ordem e pode mostrar que:$\Delta t>0$

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

Em teoria, você pode, portanto, usar o termo para estimar o erro e defina seu acordo. Isso não é tão fácil quanto parece e, na prática, os limites acabam sendo estimativas aproximadas do erro. O problema é que:$\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$$\Delta t$

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

e não há prontamente transformados em coordenadas em que seja um operador de multiplicação simples. Portanto, você deve se contentar com e use-o para estimar seu erro, calculando para o seu solução em desenvolvimento atualmente e usando-a para definir seu$[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$$\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$$\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$$\psi(x,\,t)$$\Delta t$imediatamente após cada ciclo do algoritmo. É claro que você pode fazer dessas idéias a base para um controlador de tamanho de etapa adaptável para sua simulação. Aqui é uma fase global retirada do conjunto de dados para minimizar a norma ; é claro que muitas vezes você pode eliminar uma fase global: dependendo do que você está fazendo com os resultados da simulação, muitas vezes não somos incomodados por uma fase constante global .$\varphi$$\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$$\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$

Um documento relevante sobre erros no SSFM / BPM é:

Lars Thylén. "O método de propagação de feixe: uma análise de sua aplicabilidade", Optical and Quantum Electronics 15 (1983) pp433-439 .

Lars Thylén pensa nos erros em termos teóricos que não são de Lie (os grupos de mentiras são meus propensos, então eu gosto de procurar interpretações deles), mas suas idéias são essencialmente as mesmas que as anteriores.

Eu posso recomendar o uso do método de domínio de tempo de diferença finita (FDTD). Até escrevi um tutorial há algum tempo que deveria responder à maioria das suas perguntas:

JR Nagel, "Uma revisão e aplicação do algoritmo no domínio do tempo com diferenças finitas aplicado à equação de Schrödinger", ACES Journal, vol. 24, nº 1, fevereiro de 2009

Eu tenho alguns códigos Matlab que funcionam muito bem para sistemas 1D. Se você tem experiência com o FDTD fazendo eletromagnetismo, também funciona muito bem para a mecânica quântica. Posso postar meus códigos se você estiver interessado.

Basicamente, ele apenas opera diretamente nas funções de onda, dividindo os derivativos em diferenças finitas. É meio semelhante ao esquema Crank-Nicholson, mas não exatamente. Se você conhece o FDTD da teoria das ondas eletromagnéticas, o FDTD será muito intuitivo ao resolver a equação de Schrodinger.

O método mais simples de diferença finita é rápido e fácil de entender, mas não é unitário no tempo - portanto, a probabilidade não é conservada. Crank-Nicholson-Crout calcula a média dos métodos de diferença finita para frente e para trás para produzir um método implícito / explícito híbrido que ainda é bastante fácil de entender e implementar e é unitário no tempo. Este site explica bem o método, fornece pseudocódigo e fornece as propriedades relevantes:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ Nota: Há um sinal - faltando no LHS da equação um deste link, que se propaga por toda a página.

De onde vem a não-unidade?

Em uma casca de noz, resolver o TDSE se resume a descobrir como lidar com

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

que contém um operador diferencial em um exponencial.

A aplicação de uma diferença finita direta transforma o operador diferencial em uma matriz tridiagonal (convertendo os reais em uma grade) e o exponencial nos dois primeiros termos de sua série Taylor

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

Essa discretização e linearização é o que dá origem à não-unidade. (Você pode mostrar que a matriz tridiagonal não é unitária pelo cálculo direto.) Combinar a diferença finita direta com a diferença finita anterior produz a aproximação

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

que, gentilmente, é unitário (novamente, você pode mostrá-lo por computação direta).

Algumas respostas e comentários aqui confundem confusamente o TDSE com uma equação de onda; talvez uma questão semântica, até certo ponto. O TDSE é a versão quantizada do hamiltoniano não relativista clássico Com as regras (como discutido no capítulo 1 de d'Espagnat, Fundamentos conceituais da mecânica quântica, https://philpapers.org/rec/ESPCFO ), portanto, lê portanto é claramente uma equação semelhante à difusão. Se alguém usou a energia relativística, que contém um termo E , uma equação de onda como

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ $^2$ $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$ obteria (para V = 0 por simplicidade), como as equações de Pauli ou Klein-Gordon. Mas isso é, obviamente, uma questão completamente diferente.

Agora, voltando ao TDSE, o método óbvio é Crank-Nicolson, como já foi mencionado, porque é uma expansão de pequeno tempo que conserva a unitariedade da evolução (o FTCS, por exemplo, não). Para o caso 1-space-D, ele pode ser tratado como uma iteração de matriz, lendo com a matriz de identidade e (Detalhes, por exemplo, em Métodos numéricos para física, http://algarcia.org/nummeth/nummeth.html , de AL Garcia). Como mais claramente visto em condições de contorno periódicas, um espaço localizado

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ ${\cal I}$ipipips=eikx/ $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ $\psi$ espalha no tempo: isso é esperado, porque o localizado inicial não é um auto-estatuto da equação estacionária de Schroedinger, mas uma superposição dela. O (partícula livre maciça clássica clássica) eigenstado com momento fixo (para o operador cinético não relativista) é simplesmente , ou seja, completamente deslocalizado conforme o princípio de Heisenberg, com densidade de probabilidade constante 1 / L em todos os lugares (observe que estou evitando problemas de normalização com estados contínuos fazendo minha partícula viver em uma linha finita e periodicamente repetida). Usando CN, a norma $\psi$ ∫| ip | 2dxcp=Ecicℏ∂x=iℏ∂$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$ $$\int |\psi|^2 dx$$ é conservado, graças à unitariedade (esse não é o caso em outros esquemas, como o FTCS, por exemplo). Aliás, observe que a partir de uma energia exacta como com fixo, você obteria isto é, a equação de advecção, que não tem dispersão (se integrada adequadamente com Lax-Wendroff métodos) e seu pacote de ondas não se espalhará com o tempo nesse caso. O análogo quântico é a equação de Dirac de partículas sem massa. $$cp=E$$ $c$ $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$