Sugestões para integral numérica sobre distribuição Pólya

Esse problema surge de um projeto de modelagem estatística bayesiano. Para calcular com meu modelo, preciso realizar uma integração na qual parte do integrando seja a distribuição "Pólya" ou "Dirichlet-Multinomial",

p (n ∣ α) = \frac{(N!) Γ (K α)}{Γ (α)^{K} Γ (N + K α)} \prod_{Eu = 1}^{K} \frac{Γ (n_{Eu} + α)}{n_{Eu}!}

$p(n\mid \alpha) = \frac{(N!) \Gamma(K\alpha)}{\Gamma(\alpha)^K \Gamma ( N + K\alpha)} \prod_{i=1}^K \frac{\Gamma(n_i + \alpha)}{ n_i!}$

onde e são números inteiros, e . A integral que desejo calcular, , funciona bem para pequeno , mas os métodos de quadratura que eu tentei (no MATLAB) quebram para baixo quando se torna grande. Eu não tentei Monte Carlo; um método preciso e rápido de quadratura seria muito bom para o meu projeto. $n_i$ $N = \sum_{i=1}^K n_i$ $n = \left(n_1, n_2, \dots, n_K\right)$ $\alpha > 0$ $\int_0^\infty (\text{other terms})p(n|\alpha) d\alpha$ $N$ $N$

Atualmente, o método "melhor" quando $N$ é grande é calcular $\log[p(n|\alpha)]$ em uma grade em alfa, normalizar e exponenciar. Isso é impreciso (perco essencialmente todos os detalhes sobre a distribuição, exceto seus picos), mas pelo menos produz um número.

Eu gostaria de receber algum conselho sobre como melhorar esse cálculo, ou apontar para diferentes algoritmos / métodos ou software existente.

EDIT: Talvez eu deva acrescentar que minha avaliação de $p(n|\alpha)$ , realizada pela computação $\log p(n|\alpha)$ usando algum código cuidadosamente escrito para calcular $\log \Gamma(x)$ para grande $x$ , não parece estar causando problemas.

EDIT 2: Além disso, valores "grandes" seriam da ordem de , com o maior , junto com muitos valores pequenos de . Os outros termos são numericamente bem-comportados. Como uma simplificação com aproximadamente o comportamento apropriado da cauda, você pode $N\sim 10^8$ $n_i\sim 10^5$ $n_i$

$(\text{other terms}) = \exp(-\alpha)$

quadrature

— Sim
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Você pode dar um exemplo típico / concreto integral? Por exemplo, fornecendo valores para n_i, N, a e os (outros termos)?

— Andrew Moylan

Eu certamente irei!

— sim

@ sydeulissie: você resolveu o problema (já que não postou um exemplo típico)?

— GertVdE

This is inaccurate (I lose essentially all detail about the distribution except its peaks), but at least produces a number.

Não entendo por que isso deve ser um problema. O resultado de uma abordagem bayesiana é sempre dominado pelos picos (pense na navalha de Ocam). Os recursos locais fornecerão uma contribuição negligenciável para as probabilidades finais.

— Bort

-1

Para integração, use uma regra de quadratura gaussiana ao lidar com exponenciais como regra geral. A título de exemplo, a integração de uma função cúbica em uma pequena área com a regra dos simpsons ou a regra trapezoidal não precisa de um N grande, mas usá-los para uma função exponencial leva a um grande N necessário para alcançar a convergência. Portanto, sempre opte por um interpolante baseado em exponencial (ou seja: regra da quadratura gaussiana). Se isso falhar, você precisará plotar a função para ver a rapidez com que está oscilando e como ela morre / aumenta com a área de integração.

— Eamonn Kenny
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