Taxas de convergência de elementos finitos para problemas mistos

Eu codifiquei um problema do Stokes Flow usando elementos finitos e estou no processo de verificar se ele funciona. Só não tenho certeza de qual taxa de convergência devo esperar enquanto refino a malha globalmente.

Conheço problemas escalares usando funções de base linear que eu esperaria convergência de ordem ( é o tamanho do elemento), e usando funções de base quadrática eu esperaria convergência de ordem na norma e uma potência a menos em o seminário . O problema que estou tendo agora é que, ao codificar o fluxo de Stokes, usei o elemento Taylor-Hood, que usa lineares para a pressão e quadrático para os componentes de velocidade. É tão simples quanto as velocidades convergentes em e a pressão na ordem ? $h^2$ $h$ $h^3$ $L^2$ $H^1$ $h^3$ $h^2$

Publiquei isso no mathoverflow primeiro e me disseram que poderia ser mais adequado para este fórum.

pde finite-element convergence

— Lukas Bystricky
fonte

A aproximação de Taylor-Hood do fluxo de Stokes é um método misto de elementos finitos, para o qual as estimativas de erro geralmente têm a forma que é o exato solução e é a aproximação. Para o fluxo de Stokes, e (com valor médio zero). Para o elemento - -Taylor-Hood, consiste em polinômios quadráticos por partes contínuos e

\begin{matrix} (1) & ‖ u - u_{h} ‖_{V} + ‖ p - p_{h} ‖_{M} \leq C (inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{V} + inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{M}), \end{matrix}

$\|u-u_h\|_V + \|p-p_h\|_M \leq C (\inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V + \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_M), \tag{1}$

(u, p) \in V \times M

$(u,p)\in V\times M$

(u_{h}, p_{h}) \in V_{h} \times M_{h}

$(u_h,p_h)\in V_h\times M_h$

V = H_{0}^{1} (Ω)^{d}

$V=H^1_0(\Omega)^d$

M = L^{2} (Ω)

$M = L^2(\Omega)$

P_{2}

$P_2$

P_{1}

$P_1$

V_{h}

$V_h$

M_{h}

$M_h$ de polinômios lineares contínuos por partes, para os quais os dois termos do lado direito podem ser delimitados por erros de aproximação quadrática usando argumentos padrão (por exemplo, regras de transformação e lema de Bramble-Hilbert): (regra geral "número de derivadas à esquerda" potências de número de derivadas a direita"). Inserir isso em gera (supondo que a solução exata seja de fato bastante regular).

\begin{aligned} inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{H^{1}} & \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}} \\ inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{L^{2}} & \leq C h^{2} ‖ p ‖_{H^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_{H^1} &\leq C h^2\|u\|_{H^3}\\ \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_{L^2} &\leq C h^2\|p\|_{H^2}\\ \end{aligned}$

+

$+$

h

$h$

=

$=$

(1)

$(1)$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}}) .

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2}).$

Como o problema de Stokes contínuo e o discreto são um sistema linear acoplado triangular superior da forma a estimativa de erro (que explora que a diferença das soluções satisfaz um sistema semelhante para e e usa a de no kernel de ) para depende em geral do erro em .

\begin{aligned} A u + B^{*} p & = f \\ B u & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} Au + B^* p &= f\\ Bu &=0\end{aligned}$

A_{h}

$A_h$

B_{h}

$B_h$

A

$A$

B

$B$

u - u_{h}

$u-u_h$

p - p_{h}

$p-p_h$

No entanto, se você olhar para a prova, há um furo de loop: se o espaço nulo de estiver contido no espaço nulo de , o termo do acoplamento será eliminado e você obterá uma estimativa de erro envolvendo apenas : A partir daí, você pode aplicar o truque de Aubin-Nitsche padrão (se a equação adjacente estiver bem colocada, que é o caso se o domínio for regular o suficiente - um polígono convexo em 2D ou tiver um limite que possa ser parametrizado por uma função diferenciável de Lipschitz) para obter uma taxa de convergência para o erro de uma ordem maior: $B_h$ $B$ $u$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{H^1} \leq C h^2 \|u\|_{H^3}$

Ω

$\Omega$

L^{2}

$L^2$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{3} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{L^2} \leq C h^3 \|u\|_{H^3}$

Você pode encontrar esses resultados em Ern, Guermond: Teoria e Prática de Elementos Finitos , Springer, 2004 . (As estimativas de erro são coletadas no Teorema 4.26, enquanto a regularidade necessária para está definida no Lema 4.17; infelizmente, as provas estão espalhadas pelo livro e acho que não é verificado em nenhum lugar explicitamente.) $\Omega$ $\ker B_h\subset \ker B$

— Christian Clason
fonte

Parece que você trabalhou muito na compilação desta resposta. Eu realmente aprecio isso. Você pode esclarecer onde obteve a estimativa: , ou isso é apenas dado?

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}})

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2})$

— Lukas Bystricky

Não tem problema, feliz se for de alguma ajuda. A estimativa vem da inserção dos erros de interpolação padrão na primeira estimativa; Eu adicionei essa etapa.

— Christian Clason

Experimentalmente (usando um domínio de caixa que não pode ser parametrizado por uma função diferenciável), estou obtendo convergência em e convergência em para todo o sistema.

h^{2}

$h^2$

L^{2}

$L^2$

h

$h$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky 16/07/2014

Hmm, então eu não tenho muita ideia no momento. Essa é realmente mais uma pergunta nova, que as pessoas mais familiarizadas com os problemas de Stokes estão melhor equipadas para responder. Por que você não faz uma nova pergunta (use o link abaixo), onde descreve exatamente qual problema está solucionando (lado direito, condições de contorno, geometria, solução exata), o que espera ver e o que está obtendo ? (Se o código deal.II é pequeno o suficiente, você pode postar isso também, alguns dos principais desenvolvedores são contribuintes freqüentes aqui.)

— Christian Clason

Acontece que eu estava olhando para os componentes incorretos na minha solução. Quando olho para os componentes corretos, recebo em e em para as velocidades e 1 potência menor para a pressão.

h^{3}

$h^3$

L^{2}

$L^2$

h^{2}

$h^2$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky