Avaliando integrais oscilatórias com muitos períodos independentes e sem formas fechadas

A maioria dos métodos para integrais oscilatórias que conheço lida com integrais da forma onde

Se eu tiver uma integral da forma onde g k são funções oscilatórias cujas raízes são conhecidas apenas aproximadamente, mas algum tipo de forma assintótica g k ( x ) ∼ e i ω k x é conhecido, com as frequências ω

Diferentemente do caso de , as integrais polinomiais ∫ x a ∏ g k ( x ) não são conhecidas, portanto, não posso construir um conjunto de interpolantes polinomiais para $e^{i\omega x}$$\int x^a \prod g_k(x)$ e integrar exatamente os interpolantes.$f(x)$

Na minha problema exato, 's são funções de Bessel J 0 ( ω k x ) , e f ( x ) = x α , e a região de integração é [ 0 , ∞ ) . O método que estou usando agora é somar contribuições integrais ao longo de intervalos [ x k - 1 , x k ] entre raízes até algum ponto de corte M e , em seguida, usar a expansão assintótica para g k ( $g_k$$J_0(\omega_k x)$$f(x)=x^\alpha$$[0,\infty)$$[x_{k-1},x_k]$$M$ para grandes$g_k(x)$ . A complexidade de tempo desse algoritmo é exponencial emtermos totais; termos de poda muito pequenos não reduzem o tempo de execução suficiente para tornar isso viável para n grandes.$x$ porque envolve a expansão do produto g 1 … g n , cada um dos quais com um número r de termos assintóticos, fornecendo r $n$$g_1\ldots g_n$$r$$r^n$$n$

Respostas, sugestões e referências não rigorosas heurísticas são bem-vindas.

Eu trabalhei em integrais mais simples, onde existem pontos de fase estacionária. Eu encontrei dois métodos que funcionam muito bem.

Uma é a introdução de um fator de amortecimento exponencial que depende da função da fase, um tipo de viscosidade artificial, se você preferir.

Outra técnica (onde existem vários pontos de fase estatística) foi descrita em:

Tuck, EO, Collins, JL e Wells, WH, "Sobre as ondas dos navios e seus espectros", Journal of Ship Research, pp. 11–21, 1971.

Esse método aplica fatores de decaimento exponencial ao integrando, onde ele se oscila rapidamente para longe do stat. pontos de fase, mas deixa o integrando intacto onde não está.

Esse sou eu sem idéias!

Desde que você tenha valores precisos para as raízes (ou extremos) da parte oscilatória do seu integrando, o método de Longman (como descrevi nesta resposta ) permanece aplicável. Tudo o que você precisa fazer é avaliar um monte de integrais com intervalos entre as raízes usando seu método de quadratura favorito e tratar essas integrais como os termos de algumas séries alternadas. Você pode usar qualquer número de métodos de aceleração de convergência (Euler, Levin, Weniger etc.) para "somar" essa série alternada.

Como exemplo, nesta resposta math.SE , avaliei uma integral infinita cuja parte oscilatória é um produto de duas funções de Bessel.