Como determinar se uma solução numérica para um PDE está convergindo para uma solução contínua?

O teorema da equivalência laxista afirma que a consistência e a estabilidade de um esquema numérico para um problema de valor inicial linear é uma condição necessária e suficiente para a convergência. Mas, para problemas não lineares, os métodos numéricos podem convergir de maneira plausível para resultados incorretos, apesar de consistentes e estáveis. Por exemplo, este artigo mostra como um método Godunov de primeira ordem aplicado às equações de águas rasas linearizadas 1D converge para uma solução incorreta.

Evidentemente, a auto-convergência sob o refinamento da malha e do tempo não é suficiente, mas geralmente não existem soluções exatas para os PDEs não lineares; portanto, como determinar se um método numérico está convergindo para uma solução genuína?

pde stability convergence

— Jed Brown
fonte

O chamado método de soluções fabricadas disponibiliza soluções exatas para todos os problemas. Pode não ser capaz de gerar o tipo de soluções problemáticas que você descreve, mas não é o caso de soluções exatas nunca estarem disponíveis.

— Bill Barth

Eu acho que isso é difícil aqui, pois você precisaria adivinhar uma solução com o tipo de descontinuidade que não é bem aproximada pelo método da solução.

— precisa saber é o seguinte

Concordo que é provavelmente difícil fabricar soluções que estimulem os modos problemáticos mencionados por Jed. Eu só queria ressaltar que soluções exatas estão sempre disponíveis para teste. Não sei o que acontece se você fabricar uma solução para as equações de águas rasas linearizadas 1D usando, digamos, uma mistura de funções trigonométricas e exponenciais (típicas das soluções exatas do MoM), gire a manivela para obter os termos da fonte correspondente e execute através de um esquema Godunov de 1ª ordem. Talvez Jed possa tentar e relatar.

— Bill Barth

O MoM é uma ótima ferramenta, mas, neste caso, o problema é que a difusão é mal aplicada dentro de um choque. Em qualquer outro lugar, a difusão convergindo para zero em cada equação é igualmente aceitável, mas a difusão não converge para zero dentro de um choque; portanto, aplicar difusão numérica a cada termo resulta igualmente em dinâmica incorreta. Escreverei uma longa resposta para essa pergunta quando tiver tempo, se ninguém me bater.

— precisa

@ Jed, não se deve aplicar às equações linearizadas?

— Matt Knepley

Respostas:

Existem duas classes principais de soluções a serem discutidas a esse respeito.

Soluções Suaves "Suficientemente"

No artigo clássico de Strang , é mostrado que o teorema da equivalência Lax (ou seja, a idéia de que consistência mais estabilidade implica convergência) se estende a soluções não lineares de PDE se elas tiverem um certo número de derivadas contínuas . Observe que esse artigo está focado em problemas hiperbólicos, mas o resultado é transferido para problemas parabólicos. O número de derivativos necessários é um ponto técnico, mas essa abordagem geralmente é aplicável a soluções que satisfazem o PDE em um sentido forte.

Soluções descontínuas

No outro extremo, temos "soluções" de PDE com descontinuidades , que normalmente surgem de leis de conservação hiperbólica não linear . Nesta situação, é claro, não se pode dizer que a solução satisfaz o PDE no sentido forte, pois não é diferenciável em um ou mais pontos. Em vez disso, uma noção de solução fraca deve ser introduzida, o que significa essencialmente exigir que a solução atenda a uma lei de conservação integral.

Provar convergência de uma sequência de soluções também é mais difícil neste caso, pois a L_p não é suficiente; geralmente a sequência deve estar em um espaço compacto, como o conjunto de funções com alguma variação total máxima finita. $L_p$ $L_\infty$

Se for possível demonstrar que a sequência converge para algo e se o método for conservador, o teorema de Lax-Wendroff garante que convergirá para uma solução fraca da lei de conservação. No entanto, essas soluções não são únicas . Determinar qual solução fraca está "correta" requer informações que não estão contidas no PDE hiperbólico. Geralmente, os PDEs hiperbólicos são obtidos negligenciando termos parabólicos em um modelo de continuum, e a solução fraca correta pode depender exatamente de quais termos parabólicos foram descartados (este último ponto é o foco do artigo vinculado na pergunta acima ).

Este é um tópico rico e envolvido, e a teoria matemática está longe de ser completa. A maioria das provas de convergência são para problemas 1D e dependem de técnicas especializadas. Assim, quase todas as soluções computacionais reais das leis de conservação hiperbólica na prática não podem ser provadas convergentes com as ferramentas existentes. Para uma discussão prática do ponto de vista computacional, consulte o livro de LeVeque (capítulos 8, 12 e 15); para um tratamento mais rigoroso e detalhado, sugiro o Dafermos .

— David Ketcheson
fonte

Tenho pouco a contribuir aqui além de apontar que sempre que os métodos numéricos têm problemas com equações hiperbólicas (e convergem para a solução errada), geralmente não é por causa de choques. Em vez disso, as áreas com as quais têm dificuldade são ondas de rarefação - onde a solução é suave.

Outro exemplo de algo que parece difícil é que, para uma equação simples do tipo você tenha problemas nos locais em que . Isso é chamado de "ponto sônico" de uma equação. (Observe que a equação pode ser reescrita como , o que explica por que é um problema). O que acontece aqui é que a equação degenera: é apenas uma EDO onde mas a solução é naturalmente afetada pelas áreas circundantes onde esse não é o caso. Conseqüentemente, se você tiver em uma parte inteira do domínio no momento inicial, diga em que

{você}_{t} + β \cdot \nabla F (você) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$ , essa parte do domínio pode aumentar ou diminuir. Como a solução é normalmente suave nessas áreas (na verdade, é geralmente constante), os métodos numéricos não adicionam difusão artificial nessas áreas e, consequentemente, não convergem para uma solução de viscosidade.

Como nota final: Um exemplo para um fluxo do fluxo multifásico em meios porosos é onde é a saturação. Você tem para , ou seja, em áreas onde a saturação é zero. $F(u)$

F (você) = \frac{{você}^{4}}{{você}^{4} + (1 1 - você)^{2} \cdot (1 1 - {você}^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
fonte

Este é um ponto excelente, embora seja ortogonal à questão em sentido estrito. Você aborda a questão da convergência para a solução fraca correta , que na verdade é mais problemática na prática do que a questão da convergência para alguma solução fraca.

— David Ketcheson 21/03/2015