Numéricos: Como renormalizo o seguinte ODE

Esta pergunta é mais sobre como resolver um problema numericamente.

Em um pequeno projeto, eu queria simular o movimento coorbital de Janus e Epimetheus. Este é basicamente um problema de três corpos. Eu escolhi Saturno para ser corrigido na origem, sejam e os vetores de localização de janus e epimetheus, respectivamente. Como o efeito ocorre quando Janus e Epimetheus estão muito próximos, escolhi coordenadas relativas para uma melhor resolução, ou seja, e . Agora eu recebo as seguintes equações de movimento: $r_1$ $r_2$ $r=r_1-r_2$ $R=r_1+r_2$

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (\binom{R}{r}) = - G (m_{2} \pm m_{1}) \frac{R}{R^{3}} - 4 M G (\frac{r + R}{(r + R)^{3}} \mp \frac{r - R}{(r - R)^{3}})

$\frac {d^2}{dt^2} \binom{R}{r} = - G (m_2\pm m_1) \frac R {R^3} - 4 M G \left(\frac {r+R}{(r+R)^3} \mp \frac {r-R}{(r-R)^3}\right )$

onde $m_i$ corresponde às massas das luas, $M$ é a massa de Saturno e $G$ a constante gravitacional. O problema surge quando tento resolver isso numericamente. É preciso lidar com valores de magnitudes completamente diferentes, isto é, $M \sim e^{28}$ e $m_i \sim e^{17}$ . E $r$ , $R$ estão nas regiões de 0 a 150.000.

Para ser sincero, não tenho certeza se este é o fórum para discutir esses problemas numéricos.

Mais Informações:

O código está escrito no Matlab e eu uso um solucionador de ODE padrão para obter o resultado. No entanto, isso está quebrando porque o tamanho da etapa não pode ser reduzido com precisão da máquina. (Acho que isso não é surpreendente, porque é preciso lidar com as ordens de magnitude já mencionadas).

ode

— GertVdE
fonte

Você está executando esta simulação em unidades SI? No mínimo, você deve dividir tudo por algum fator de , para poder eliminar algumas ordens de magnitude.

G * m_{2}

$G*m_{2}$

Oi, eu sou esse, mas ainda não está funcionando ... Os mesmos problemas ocorrem como antes. :(

Você precisa definir sua unidade de massa como uma das massas da lua e suas unidades de comprimento / tempo para definir as coisas como 1. Nada deve ser menor que 1/100 se você a escrever bem. Não há necessidade de um solucionador de balcão. Escreva o código para fazer isso sozinho, onde você controla o tamanho da etapa. Quebras no tamanho da etapa com esses tipos de potenciais podem ocorrer em colisões, onde o solucionador tentará reduzir o tamanho da etapa até a convergência e, na colisão, não há convergência. Você precisa ter certeza de que as órbitas não são colineares; portanto, é necessário visualizar a simulação. Você não pode obter uma resposta como está.

— Ron Maimon

Por favor, evite abreviações no título. DGL = Differentialgleichung?

Qual solucionador de ODE padrão você está usando?

— Geoff Oxberry 29/03/2012

Respostas:

Sua abordagem atual arruina a estabilidade numérica; na verdade, você provavelmente perde a resolução dessa maneira.

Tome como coordenadas para cada satélite suas variáveis Kepler e o ângulo do plano que contém a posição do satélite, a velocidade e a origem. As equações diferenciais na ausência de interação entre os satélites são então trivialmente simples, e somente a interação se torna um pouco complicada. Como a interação é pequena se os satélites estiverem distantes, a dinâmica resultante deve ser numericamente estável.

— Arnold Neumaier
fonte

Em vez de usar um solucionador de ODE "clássico" (rígido), você pode usar algoritmos dedicados para integração numérica geométrica. Veja, por exemplo, este livro e os códigos GNI que você pode encontrar no site da Ernst Hairer .

— GertVdE
fonte

Que tal se você tiver três etapas na sua simulação:

atualize a posição de Janus calculando a força de Janus - Saturno.
atualize a posição de Epimeteu calculando a força de Epimeteu - Saturno.
atualize a posição de Janus e Epimetheus calculando a força de Janus - Epimetheus.

Possivelmente usando timesteps mais finos para o # 3.

Não tenho certeza se isso vai ajudar. Suponho que o verdadeiro problema é que a magnitude da força é diferente no caso lua - lua e lua - Saturno, exceto se as luas estiverem próximas?

Alternativamente:

se as luas se fecharem, calcule uma força aproximada de luas - Saturno usando seu vetor de centro de massa e atualize ambas as posições com o mesmo vetor.
se estiverem distantes, atualize-os separadamente.
como antes.

Boa sorte!