E essa estimativa de erro simples para PDE linear?

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Seja um domínio Lipschitz delimitado poligonalmente convexo em , seja . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

Então a solução do problema de Dirichlet em , em tem uma solução única em e está bem posicionada, ou seja, para constante , temos . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Para alguma aproximação de elemento finito $u_h$ , digamos, com elementos nodais em uma grade uniforme, temos a estimativa de erro

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Parece (talvez eu esteja errado com isso) que as pessoas geralmente não usam a estimativa de erro óbvia

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

que podemos obter combinando as duas desigualdades acima. Em vez disso, os estimadores de erro a posteriori são desenvolvidos de várias formas. A única objeção que posso imaginar contra a equação acima é que a constante $C$ pode, na prática, ser muito pessimista ou não estimada com segurança.

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
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A razão pela qual as pessoas preferem usar a primeira estimativa, na minha opinião, é que a primeira surge naturalmente da ortogonalidade de Galerkin do MEF, da propriedade de aproximação de interpolação e, mais importante, da coercividade da forma bilinear (para o problema de valor de fronteira da equação de Poisson) , é equivalente à desigualdade de Poincaré / Friedrichs para funções ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ onde depende da constante na desigualdade de Poincaré / Friedrichs para as funções , é a interpolação de no finito espaço do elemento

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ depende dos ângulos mínimos da malha.

Enquanto a estimativa de regularidade elíptica está apenas no nível do PDE, não tem nada a ver com a aproximação, além do argumento acima, é válida mesmo quando é uma distribuição. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Agora, vá para o motivo pelo qual as estimativas de erro a posteriori são amplamente usadas, principalmente porque:

É computável, não há constante genérica na expressão das estimativas.
O estimador tem sua forma local, que pode ser o indicador de erro local usado no procedimento de refino de malha adaptável. Portanto, o problema com singularidades ou geometrias realmente "ruins" poderia ser tratado.

As duas estimativas do tipo a priori listadas são válidas, elas fornecem as informações das ordens de convergência, mas nenhuma delas poderia ser um indicador de erro local apenas para um triângulo / tetraedro, porque nenhuma delas é computável devido à constante , nem são definidos localmente.

EDIT: Para uma visão mais geral do MEF para PDEs elípticas, recomendo a leitura do capítulo 0 no livro de Brenner e Scott: The Theory Mathematics of Finite Element Methods , que consiste em apenas 20 páginas e cobre brevemente quase todos os aspectos dos métodos de elementos finitos , desde a formulação de Galerkin do PDE, até a motivação pela qual gostaríamos de usar o MEF adaptável para resolver algum problema. Espero que isso ajude você mais.

— Shuhao Cao
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Sua estimativa é muito pessimista em duas frentes. Você já identificou o primeiro ( agora não inclui apenas a constante de interpolação, mas também a constante de estabilidade). A segunda é que a estimativa de erro realmente lê Observe que o lado direito tem o seminário , não a norma. É claro que você pode limitar o rhs pela norma completa, mas perde novamente dessa maneira. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
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