Existe uma generalização da Lei de Inércia de Sylvester para o problema simétrico de autovalor generalizado?

Eu sei que, para resolver o problema simétrico de autovalor , podemos usar a Lei de Inércia de Sylvester, que é o número de autovalores de menor que igual ao número de entradas negativas de onde a matriz diagonal vem da fatoração LDL de . Então, pelo método de bissecção, podemos encontrar todos ou alguns autovalores, conforme desejado. Desejo saber se existe uma generalização da Lei de Inércia de Sylvester para problemas simétricos de autovalores generalizados, que estão resolvendo $Ax = \lambda x$ $A$ $a$ $D$ $D$ $A-aI = LDL^{T}$ , onde e são matrizes simétricas. Obrigado. $Ax= \lambda Bx$ $A$ $B$

linear-algebra eigensystem

— Willowbrook
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Respostas:

Sim, se o lápis é definitivo, ou seja, se e são hermitianos e é positivo positivo. Em seguida, a assinatura de tem a mesma interpretação para o problema de valores próprios , como no caso . Um resultado mais geral desse tipo vale para qualquer problema de valor próprio não linear definido . Veja a Seção 5.3 do meu livro $A$ $B$ $B$ $A-\sigma B$ $(A-\lambda B)x=0$ $B=I$ $A(\lambda)x=0$

Arnold Neumaier, Introdução à análise numérica, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001.

Para , a prova da minha afirmação pode ser deduzida do argumento dado por Jack Poulson ao observar que e são congruentes, portanto, têm a mesma inércia. $(A-\lambda B)x=0$ $C-\sigma I$ $A-\sigma B$

Em particular, pode-se calcular directamente a inércia de , e não necessita de um fatoração de Cholesky de para formar . De fato, se está mal condicionado, a formação numérica de degrada a qualidade do teste de inércia. $A-\sigma B$ $B$ $C$ $B$ $C$

— Arnold Neumaier
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Bom argumento sobre o mau condicionamento de B; Eu acho que sua abordagem é melhor se alguém realmente estiver interessado apenas em calcular a inércia. A abordagem que sugeri é típica para resolver o problema de autovalor (no caso em que

está bem condicionado).

B

$B$

— Jack Poulson

@JackPoulson: O teste de inércia é geralmente aplicado para obter os autovalores em um intervalo específico quando

são escassos e seu padrão de esparsidade articular gera pouco preenchimento. Mas seu

já estará denso quando

for tridiagonal, portanto, use nunca é adequado para encontrar os autovalores de um grande problema de autovalor generalizado esparso. (Considerando que, se o problema não é grande, há pouco ponto em usar a inércia, como encontrar todos os valores próprios é geralmente rápido o suficiente.)

A

$A$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

— Arnold Neumaier

Certamente; parece que deixei por engano a palavra "densa" fora do meu comentário.

— Jack Poulson

$B$ $B$ $B = L L^H$

A x = L L^{H} x λ,

$Ax=LL^H x \lambda,$

e essa equação pode ser manipulada para mostrar que

(L^{- 1} A L^{- H}) (L^{H} x) = (L^{H} x) λ,

$(L^{-1} A L^{-H})(L^H x) = (L^H x) \lambda,$

$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ $A$ $(A,B)$ $C$ $C$ $(A,B)$

$S \cdot S^H$ $C$ $A$ $L^{-1} \cdot L^{-H}$ $C$ $A$ $C-\sigma I$ $\sigma$ $A$

— Jack Poulson
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Um voto negativo sem nenhuma crítica construtiva?

— Jack Poulson

Não saí do computador do meu escritório e, por acaso, meu colega de escritório se deparou com essa guia no meu navegador e votou negativamente na resposta, peço desculpas pelo mal-entendido e perguntarei por que ele votou negativamente.

— Shuhao Cao

B

$B$

(A, B)

$(A,B)$

A

$A$

B

$B$

@ Jon: Suspiro. Não é para isso que serve o voto negativo.

— 22612 Jack Poulson

Eu sei! Eu já disse a ele "leia a regra" depois que descobri que ele usou minha conta para votar uma resposta relevante!

— Shuhao Cao