Critério de estabilidade para ondas em sólidos anisotrópicos

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As equações de movimento para um sólido elástico são dadas por

\begin{aligned} \nabla \cdot σ + f = ρ \ddot{u} \\ σ = C ε \\ ε = \frac{1}{2} (\nabla u + [\nabla u]^{T}) \end{aligned}

$\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align}$

ou na notação de índice

\begin{aligned} σ_{i j, j} + f_{i} = ρ \ddot{u_{i}} \\ σ_{i j} = C_{i j k l} ε_{k l} \\ ε = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) \end{aligned}

$\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align}$

$\mathbf{u}$ é o vetor de deslocamento, é a força do corpo (termo de origem), é o tensor de tensão, é o tensor de tensão e é o tensor de rigidez. No caso de sólidos isotrópicos, o tensor de rigidez é escrito em termos de duas constantes diferentes , para domínios sem limites, a equação admite dois tipos de ondas que não estão acoplados e o critério de estabilidade é dado pelo pior caso dos dois casos diferentes (ou seja, , aquele com maior velocidade). $\mathbf{f}$ $\boldsymbol{\sigma}$ $\mathbf{\varepsilon}$ $\mathbb{C}$

Para materiais isotrópicos transversais , existem 5 parâmetros independentes que definem o tensor e 3 tipos de ondas (2 delas são acopladas). No caso mais geral, o número de parâmetros é 21 e a onda é acoplada.

Pergunta: Como você encontra o critério de estabilidade em um algoritmo de marcha no tempo para o caso geral?

— nicoguaro
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Como você define "estabilidade" e que tipo de critério procura?

— precisa saber é o seguinte

Estou procurando estabilidade em um esquema numérico explícito. O equivalente da condição CFL.

— Nicoguaro

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Equações de onda como essa podem ser reescritas como um sistema hiperbólico de leis de conservação de primeira ordem:

q_{t} + \nabla \cdot F (q) = 0.

$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0.$

O tempo estável para qualquer discretização numérica explícita depende do número da CFL, que é proporcional à velocidade máxima da onda que aparece no problema. Essa velocidade pode ser encontrada calculando-se os autovalores da função jacobiana da função de fluxo, e tomando o maior (em valor absoluto). $F$

Nas dimensões , possui componentes e a análise adequada requer a localização dos valores próprios das combinações lineares arbitrárias desses componentes. Mas para a maioria dos sistemas, incluindo a elasticidade, é suficiente olhar para os valores próprios de cada um dos componentes do . $d$ $F$ $d$ $F$

Uma boa referência para essa teoria é o texto de LeVeque sobre métodos de volume finito . A elasticidade é abordada em detalhes no capítulo 22.

Todas as advertências usuais sobre a condição CFL se aplicam: é uma condição necessária, mas geralmente não suficiente para a estabilidade. Mas a condição suficiente para a estabilidade de uma determinada discretização é geralmente dada pela condição CFL multiplicada por alguma constante. Para encontrar seu critério de estabilidade, é necessário conhecer a velocidade máxima da onda (com base nas equações que você está resolvendo) e a constante (com base na discretização que você está usando).

— David Ketcheson
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obrigado pela sua resposta. Estudei o capítulo no livro de Leveque, e deduziu a forma das matrizes , e . E reduzi os polinômios característicos a equações cúbicas, que, em geral, são difíceis de resolver. Para verificar sua sugestão, simplifico as equações para o caso isotrópico transversal, e os autovalores de cada um não são os máximos das velocidades. Em seguida, calculei os autovalores para combinações lineares e eles mudam dependendo da direção (conforme descrito no livro). É necessário encontrar o máximo para todas as direções possíveis?

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— Nicoguaro

2

No caso de um material anisotrópico, as velocidades de fase das ondas que viajam através desse material são determinadas pela equação de Christoffel: Aqui, é a densidade do material, é a velocidade de propagação da onda, é o delta de Kronecker, é o vetor unitário na direção .

[ρ c^{2} δ_{i j} - C_{i j k l} n_{j} n_{l}] [u_{k}] = 0

$\begin{equation} [\rho c^2\delta_{ij} - C_{ijkl}n_jn_l][u_k]=0 \end{equation}$

ρ

$\rho$

c

$c$

δ

$\delta$

n_{j}

$n_j$

j

$j$

Pode-se observar que a solução corresponde a tomar o determinante dos parênteses à esquerda, o que fornece uma equação de autovalor nos autovalores . $\rho c^2$

Assim, no caso anisotrópico tridimensional, ainda temos três velocidades de fase diferentes para uma determinada direção de propagação, a maior das quais deve ser usada para análise de CFL, de maneira semelhante à maneira como a velocidade longitudinal é usada em um problema isotrópico.

— DanielRch
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1

max_{θ, ϕ} max_{i} λ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{\theta, \phi} \max_i{\lambda_i(\theta, \phi)}\\$

λ_{i}

$\lambda_i$

1

Expandirei a resposta fornecida por @DavidKetcheson. Primeiro, as equações são reescritas como um sistema hiperbólico de leis de conservação de primeira ordem:

q_{t} + \nabla \cdot F (q) = 0

$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0$

ou

q_{t} + A q_{x} + B q_{y} + C q_{z} = 0

$q_t + A q_x + B q_y + C q_z = 0$

Onde é um vetor de estado formado com os componentes do tensor de tensão e componentes do vetor de velocidade . $q$ $(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{13})$ $(u, v, w)$

q = (\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{12} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ u \\ v \\ w \end{matrix}),

$q = \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{12}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ u\\ v\\ w \end{pmatrix} \enspace ,$

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{11} & c_{16} & c_{15} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{12} & c_{26} & c_{25} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{13} & c_{36} & c_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{14} & c_{46} & c_{45} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{15} & c_{56} & c_{55} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{16} & c_{66} & c_{56} \\ \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{11} & {c}_{16} & {c}_{15}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{12} & {c}_{26} & {c}_{25}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{13} & {c}_{36} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{14} & {c}_{46} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{56} & {c}_{55}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{66} & {c}_{56}\\ \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$

B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{16} & c_{12} & c_{14} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{26} & c_{22} & c_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{36} & c_{23} & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{46} & c_{24} & c_{44} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{56} & c_{25} & c_{45} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} & c_{26} & c_{46} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{12} & {c}_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{26} & {c}_{22} & {c}_{24}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{36} & {c}_{23} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{46} & {c}_{24} & {c}_{44}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{25} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{66} & {c}_{26} & {c}_{46}\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$

C = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{15} & c_{14} & c_{13} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{25} & c_{24} & c_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{35} & c_{34} & c_{33} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{44} & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & c_{45} & c_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{56} & c_{46} & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{14} & {c}_{13}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{25} & {c}_{24} & {c}_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{35} & {c}_{34} & {c}_{33}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{45} & {c}_{44} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{55} & {c}_{45} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{46} & {c}_{36}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace .$

Para calcular a velocidade do problema (conforme descrito acima), precisamos formar a matriz , onde é um vetor de unidade e determina a direção da propagação. Para encontrar a condição CFL é necessário resolver $\hat{A}(n_1, n_2, n_3) = n_1 A + n_2 B + n_3 C$ $\mathbb{n}=(n_1, n_2, n_3)$

max_{(θ, ϕ)} max_{i} γ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \gamma_i(\theta, \phi)$

onde são ângulos esféricos e são os valores próprios da matriz . $(\theta, \phi)$ $\gamma_i$ $\hat{A}(\theta, \phi)$

Com base nisso, e na resposta fornecida por @DavidKetcheson, é mais simples calcular os autovalores da equação de Christoffel e resolver o problema de otimização.

max_{(θ, ϕ)} max_{i} λ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \lambda_i(\theta, \phi)$

com autovalores da equação de Christoffel. E a velocidade é apenas . $\lambda_i$ $c = \sqrt{\lambda_i/\rho}$

— nicoguaro
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