Como é a convergência fraca, numericamente?

9

Considere, você tem um problema em um espaço Hilbert ou Banach de dimensão infinita (pense em um PDE ou um problema de otimização em um espaço assim) e possui um algoritmo que converge fracamente para uma solução. Se você discretizar o problema e aplicar o algoritmo discretizado correspondente ao problema, convergência fraca será convergência em todas as coordenadas e, portanto, também forte. Minha pergunta é:

Esse tipo de convergência forte parece ou parece diferente da convergência obtida da boa e antiga convergência forte e plana do algoritmo infinito original?

Ou, mais concreto:

Que tipo de mau comportamento pode acontecer com um "método discreto de convergência fraca"?

Eu próprio geralmente não sou muito feliz quando só posso provar uma convergência fraca, mas até agora não pude observar algum problema com o resultado dos métodos, mesmo que eu dimensionasse o problema discretizando os problemas para dimensões mais altas.

Observe que não estou interessado no problema "primeiro discretizar do que otimizar" vs. "primeiro otimizar do que discretizar" e estou ciente dos problemas que podem ocorrer se você aplicar um algoritmo a um problema discretizado que não compartilhe todas as propriedades com o problema para o qual o algoritmo foi projetado.

Atualização: Como um exemplo concreto, considere um problema de otimização com uma variável em e resolva-o com algo como (uma inércia) divisão para frente ou para trás ou algum outro método pelo qual apenas uma convergência fraca em é conhecida. Para o problema discretizado, você pode usar o mesmo método e, com a discretização correta, obtém o mesmo algoritmo se discretizar o algoritmo diretamente. O que pode dar errado quando você aumenta a precisão da discretização? $L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— Dirk
fonte

Em que tipo de método você está pensando onde a convergência é analisada antes que o problema de dimensão infinita seja discretizado? Você menciona otimização, então está pensando principalmente em problemas de otimização com restrições de PDE ou há algo mais?

— Bill Barth

Além da otimização do PDE, tenho problemas geométricos de variação (por exemplo, superfícies mínimas) e problemas de imagem (por exemplo, denoising na TV, segmentação Mumford-Shah).

— Dirk

3

É verdade que a convergência fraca é mais crucial no limite de continuidade como (por exemplo, por não ser capaz de observar nenhuma taxa de convergência). Pelo menos nos espaços de Hilbert, ele também está intimamente ligado à não exclusividade do limite e, portanto, apenas à convergência subsequente (por exemplo, onde você pode alternar entre aproximar-se de diferentes pontos-limite, destruir novamente taxas) e é difícil separar a influência de os dois na convergência. $h\to 0$

Especificamente para convergência fraca em , você também tem o fato de que a convergência não precisa ser pontual, e isso pode ser observado com uma discretização (suficientemente fina). Aqui está um exemplo de uma sequência de minimizadores que converge como para que a convergência é fraca, mas não é pontual em (mas em quase todos os outros lugares). As figuras a seguir mostram três elementos representativos da sequência (para já bastante pequeno). $L^2$ $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\varepsilon\to 0$

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$

ε

$\varepsilon$

$convergência fraca 1$ $convergência fraca 2$ $convergência fraca 3$

Esse fenômeno é conhecido como "chittering" na aproximação de problemas de controle de bang-bang para equações diferenciais (isto é, problemas com restrições de caixa em que a solução quase em toda parte atinge o limite inferior ou superior).

— Christian Clason
fonte

Excelente exemplo! No entanto, não entendi como a convergência fraca está ligada à não-exclusividade. Em geral, não é possível atualizar convergência fraca para convergência forte quando o limite é único, certo? Mas concordo, freqüentemente, temos apenas convergência fraca e não exclusividade.

— Dirk

Desculpe, isso foi pouco formulado; Eu não quis dizer que este é sempre o caso. Eu tinha em mente os problemas em que você normalmente também obtém convergência da norma; portanto, desde que haja convergência da sequência completa, você pode "atualizar" para uma convergência forte (ou seja, a única coisa que pode impedir uma convergência forte é a convergência subsequente). )

— Christian Clason

2

A pergunta que você faz muitas vezes não é muito preocupante prática, porque uma convergência fraca em uma norma pode implicar uma convergência forte em outra, para a mesma sequência de soluções.

Para dar um exemplo, vamos supor que resolvemos a equação de Laplace com um lado direito suficientemente suave em um domínio poligonal convexo com elementos finitos padrão. Então a solução está em , mas é claro que a solução de elementos finitos está apenas em . Sabemos que fortemente nas normas e como o tamanho máximo da malha porque temos estimativas de erro a priori e . $u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightarrow u$ $L_2$ $H^1$ $h\rightarrow 0$ $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

Mas claramente não podemos esperar fortemente em porque os estão apenas em . Mas podemos ter um em (de fato, acho que isso vale). Provavelmente isso implicaria uma declaração como $u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2} (u - u_{h}), \nabla^{2} v ⟩ \leq o (1) \forall v \in H^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

O ponto é que a questão da convergência fraca versus forte é tipicamente uma questão de qual norma você olha, e não uma propriedade da sequência de soluções que você obtém do seu método.

— Wolfgang Bangerth
fonte

Isso é verdade, mas em algum momento a norma se torna fraca demais para ser praticamente útil (por exemplo, quando você tem apenas convergência fraca em , o que pode implicar forte convergência em normas negativas de Sobolev, que não são localizáveis).

L^{2}

$L^2$

— Christian Clason

@ChristianClason, você pode falar como é isso quando esse método é discreto. Eles trabalham? Etc?

— Bill Barth

O caso que eu tinha em mente é quando a norma discretizada realmente se aproxima da norma na qual apenas uma convergência fraca acontece (geralmente ).

L^{2}

$L^2$

— Dirk