Qual é a idéia geral do método de Nitsche na análise numérica?

Eu sei que o método de Nitsche é um método muito atraente, pois permite levar em consideração as condições de contorno do tipo Dirichlet ou o contato com as condições de contorno de atrito de maneira fraca, sem o uso de multiplicadores de Lagrange. E sua vantagem, que é transformar uma condição de limite de Dirichlet em termos fracos, da mesma forma que uma condição de limite de Neumann, é paga pelo fato de que a implementação depende do modelo.

No entanto, parece ser geral demais para mim. Você pode me dar uma idéia mais específica desse método? Um exemplo simples seria apreciado.

O método de Nitsche está relacionado aos métodos descontínuos de Galerkin (de fato, como Wolfgang aponta, é um precursor desses métodos) e pode ser derivado de maneira semelhante. Vamos considerar o problema mais simples, a equação de Poisson: Agora estamos procurando uma formulação variacional que

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$

1. está satisfeito com a solução (fraca) (isto é, consistente),$u\in H^1(\Omega)$
2. é simétrico em e v ,$u$$v$
3. admite uma solução única (o que significa que a forma bilinear é coercitiva).

Começamos como de costume, assumindo a forma forte da equação diferencial, multiplicando por uma função de teste e integrando por partes. Começando pelo lado direito, obtemos ( f , v ) = ( - Δ u , v $v\in H^1(\Omega)$ onde na última equação nós adicionamos o zero produtivo0=u-gno limite. Reorganizar os termos para separar as formas linear e bilinear agora fornece uma equação variacional para uma forma bilinear simétrica que é satisfeita para a soluçãou∈H1(Ω)de(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

A forma bilinear no entanto não é violenta, já que não pode envolveram a partir de baixo para por c ‖ v ‖ 2 H 1 (uma vez que não têm quaisquer condições de contorno para arbitrária v ∈ H 1 ( Ω ) , não podemos utilizar a desigualdade de Poincaré como de costume - isso significa que podemos fazer a L 2 parte da norma arbitrariamente grande, sem alterar a forma bilinear). Portanto, precisamos adicionar outro termo (simétrico) que desaparece para a solução verdadeira: η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$ para alguns η > 0 grandes o suficiente. Isto conduz à formulação fraco (simétrica, consistente, coerciva): encontrar u ∈ H 1 ( Ω ) tal que ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ vmax u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Esta não é a derivação original de Nitsche, que antecede os métodos descontínuos de Galerkin e parte de um problema de minimização equivalente. Na verdade, seu artigo original não menciona a forma bilinear correspondente, mas você pode encontrá-la em, por exemplo, Freund e Stenberg, Em condições de contorno pouco impostas para problemas de segunda ordem , Proceedings of the Nona Int. Conf. Elementos Finitos em Fluidos, Veneza 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. Pp. 327-336 .)