Condição de contorno periódica para a equação do calor em] 0,1 [

Vamos considerar uma condição inicial suave e a equação do calor em uma dimensão: no intervalo aberto , e vamos assumir que queremos resolvê-lo numericamente com diferenças finitas.

$$\partial_t u = \partial_{xx} u$$ $]0,1[$

Eu sei que para o meu problema a ser bem colocada, eu preciso dotá-lo de condições de contorno em e . Eu sei que Dirichlet ou Neumann funcionam bem.$x=0$$x=1$

Se eu tiver no primeiro caso pontos interiores para , então eu tenho desconhecidos: para , porque é prescrito nos limites.$N$$x_k=\frac{k}{N+1}$$k=1,\cdots,N$$N$$u_k=u(x_k)$$k=1,\cdots,N$$u$

No segundo caso, eu realmente tenho incógnitas e sei como usar o Neumann BC (homogêneo) para discretizar o laplaciano na fronteira, por exemplo, com a adição de dois pontos fictícios e e as igualdades:$N+2$$u_0,\cdots,u_{N+1}$$x_{-1}$$x_{N+2}$

$$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$$

Minha pergunta é sobre BC periódico. Eu tenho a sensação de que eu poderia usar uma equação, ou seja, mas talvez duas, e então usaria

$$u(0) = u(1)$$ $$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$$

mas eu não tenho certeza. Também não sei quantas incógnitas eu deveria ter. É ?$N+1$

A melhor maneira de fazer isso é (como você disse), basta usar a definição de condições de contorno periódicas e configurar suas equações corretamente desde o início, usando o fato de que . De fato, ainda mais fortemente, as condições de contorno periódicas identificam com . Por esse motivo, você deve ter apenas um desses pontos no domínio da solução. Um intervalo aberto não faz sentido ao usar condições de limite periódicas, pois não há limite .$u(0)=u(1)$$x=0$$x=1$

Esse fato significa que você não deve colocar um ponto em pois é o mesmo que . Discretizando com pontos, você usa o fato de que, por definição, o ponto à esquerda de é e o ponto à direita de é .$x=1$$x=0$$N+1$$x_0$ $x_N$$x_N$ $x_0$

Seu PDE pode ser discretizado no espaço como

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$$

Isso pode ser escrito em forma de matriz como que

$$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$$ $$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$$

Obviamente, não há necessidade de criar ou armazenar essa matriz. As diferenças finitas devem ser calculadas em tempo real, tendo o cuidado de lidar com o primeiro e o último pontos, especialmente conforme necessário.

Como um exemplo simples, o script MATLAB a seguir resolve com condições de contorno periódicas no domínio . A solução fabricada é usada, o que significa . Usei a discretização do tempo de Euler para simplificar e calculei a solução com e sem formar a matriz. Os resultados são mostrados abaixo.

$$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$$ $x\in[-1,1)$$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

De acordo com isso, você deve impor condições de contorno periódicas como:

$$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$$

Uma maneira de discretizar a Equação de Calor implicitamente usando Euler para trás é

$$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$$

Resolvendo o sistema de equações

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$u_{0}$$u_{N+1}$

$$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$$

$u_x$

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

O que lhe dá equações N + 2 e N + 2 incógnitas.

Você também pode se livrar da primeira das equações e das células fantasmas e chegar a um sistema de N equações e N desconhecidas.