Qual é a melhor maneira de encontrar descontinuidades de uma função de caixa preta?

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Foi sugerido que este poderia ser um lugar melhor para esta pergunta do que o Mathematics Stack Exchange, onde eu a fiz antes .

Suponha que se tenha uma função de caixa preta que possa ser avaliada em qualquer lugar (barato) em um intervalo especificado e não tenha ruído (exceto a granularidade do ponto flutuante, por exemplo). Qual seria a melhor maneira de encontrar as descontinuidades dessa função? Não sei quantas descontinuidades podem existir e talvez não. $[a,b]$

Eu posso pensar em alguns métodos simples (amostragem uniforme, refinar onde existem grandes diferenças entre amostras, ...), mas talvez haja uma maneira melhor?

A função é "razoável", na medida em que se poderia supor que ele tenha, no máximo, muitas descontinuidades, o mesmo para derivadas mais altas, não me importo se pequenas descontinuidades patológicas forem perdidas ... (o aplicativo é plotagem automatizada de funções 1d) .

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Obrigado a todos que responderam, particularmente Pedro; o método descrito em Pachón, Platte e Trefethen parece ser a melhor abordagem para mim, então agora vou implementá-lo

interpolation signal-processing

— n00b
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Eu tenho que saber se qualquer um dos métodos propostos podem lidar com

\frac{1}{x} - ⌊ \frac{1}{x} ⌋

$\frac1{x}-\left\lfloor\frac1{x}\right\rfloor$

— JM

@JM: Vou adicionar um gráfico desta função quando terminar a implementação.

— N00b

@ n00b: Você pode achar esse conceito útil. : mathoverflow.net/q/165038/14414

— Rajesh Dachiraju

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Se você estiver usando o Matlab, poderá estar interessado no projeto Chebfun . Chebfun pega uma função, faz uma amostra e tenta representá-la como um interpolante polinomial. Se sua função tiver descontinuidades, o Chebfun deve ser capaz de detectá-las com o splitting oncomando Você pode encontrar alguns exemplos aqui .

Se você está interessado nos algoritmos subjacentes, uma boa referência é o artigo de Pachón, Platte e Trefethen " Piecewise Smooth Chebfuns ".

— Pedro
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Obrigado Pedro, eu estou familiarizado com o Chebfun, que é ótimo, mas enorme (e vem com um alto custo implícito via licença do Matlab). Então, eu estou realmente procurando por um pequeno algoritmo rígido para esse problema que eu mesmo implementaria.

— N00b

@ n00b: bom argumento. Adicionei uma referência ao artigo que descreve os algoritmos subjacentes, por exemplo, para detecção de bordas.

— Pedro

Ah, excelente! Eu não tinha visto este artigo e, contrariamente às minhas expectativas, parece que o localizador de descontinuidade Chebfun não usa Chebfuns - então isso parece ser eminentemente útil. Vou lê-lo com cuidado e inspecionar o código correspondente ....

— n00b

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Suspeito que o algoritmo chebfun deva parecer mais prático, mas é necessário mencionar mais uma maneira de detectar descontinuidades, a saber, a transformada discreta de wavelet. Você pode ter uma idéia de como isso funciona , consultando esta página de documentação do Mathematica , consulte a seção> Aplicativos> Detectar descontinuidades e bordas.

$f$

— faleichik
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Os métodos Ponderados Não-Oscilatórios Ponderados (WENO) usam "indicadores de suavidade" para detectar descontinuidades nos métodos finitos de volume e diferença. A partir da descrição de Chebfun que Pedro deu, parece que a idéia geral é a mesma: construa um conjunto de polinômios interpoladores e use-os para calcular alguma medida de suavidade.

Veja GS Jiang e CW Shu, Implementação eficiente de esquemas de ENO ponderados, J.Comput.Phys., Vol. 126, pp. 202--228, 1996.

— Matthew Emmett
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Junto com o @Pedro, eu examinaria os algoritmos de detecção de borda. Uma descontinuidade é um infinito na derivada; portanto, considere olhar para uma malha cada vez mais fina e segmentar regiões de interesse.

A aproximação da diferença finita à derivada de uma função contínua deve reduzir à medida que a malha é refinada. A comparação do resultado da diferença finita para a derivada entre malhas pode então revelar divergências no gradiente que sinalizam descontinuidades.

$f(x) = \mathrm{sign}(x) \sqrt{|x|}$ $x=0$ $h_x \rightarrow 0$

— Phil H
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Uma sutileza do problema é que, embora uma descontinuidade possa ser vista como tendo um infinito na derivada, o oposto não é verdadeiro - o sinal da função (x) * sqrt (| x |) é perfeitamente contínuo em x = 0, mas a derivada é infinita lá

— n00b

Também discordo do comentário de que "qualquer função contínua deve ser suave em uma escala suficientemente pequena". A suavidade tem a ver com derivados contínuos; a continuidade da função original é uma condição necessária, mas não suficiente.

— Geoff Oxberry

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@ GeoffOxberry: removeu essa declaração. É um resultado razoável no DF, mas não analiticamente.

— Phil H