Menor autovalor sem inverso

Suponha que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é uma matriz definida positiva e simétrica. $A$ é grande o suficiente para ser caro resolver $Ax=b$ diretamente.

Existe um algoritmo iterativo para encontrar o menor autovalor de $A$ que não envolva a inversão de $A$ em cada iteração?

Ou seja, eu teria que usar um algoritmo iterativo como gradientes conjugados para resolver $Ax=b$ , de modo que aplicar repetidamente $A^{-1}$ pareça um "loop interno" caro. Eu só preciso de um único vetor próprio.

Obrigado!

— Justin Solomon
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Você já tentou usar a decomposição de Cholesky? Você teria que fatorar

A

$A$ em

L L^{T}

$L L^T$ com

L

$L$ sendo uma matriz triangular. Depois de ter a fatoração (você só faz isso uma vez), você pode usá-lo em todas as iterações para resolver o sistema muito rapidamente, substituindo-as novamente.

— Juan M. Bello-Rivas

A é uma matriz esparsa?

— Tolga Birdal 02/01

A

$A$

Se você estiver usando matlab ou oitava, use a eigsrotina- É um método iterativo. Existem opções para especificar qual o valor próprio que você deseja, por exemplo, o menor real .

— sebastian_g

A

$A$

A

$A$

$\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Encontre seu vetor próprio resolvendo . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
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