Diferença entre a norma l2 e a norma L2

Qual é a diferença entre a norma e a norma . Não consigo encontrar uma referência definitiva. A Wikipedia os utiliza de forma intercambiável.$l^2$$L^2$

Ambas as normas são semelhantes, pois são induzidas pelo produto escalar do respectivo espaço de Hilbert, mas diferem porque os diferentes espaços são dotados de diferentes produtos internos:

• Para , a norma euclidiana de é definida por $\mathbb{R}^N$$v = (v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$

  $$\|v\|_{2}^2 = (v,v)_{2} = \sum_{i=1}^N v_i^2.$$

• Para (o espaço das seqüências reais para as quais a seguinte norma é finita), a norma de é definida por $\ell^2$$v = \{v_i\}_{i\in\mathbb{N}} \in \ell^2$

  $$\|v\|_{\ell^2}^2 = (v,v)_{\ell^2} = \sum_{i=1}^\infty v_i^2.$$

• Para (o espaço das funções mensuráveis ​​de Lebesgue em um domínio delimitado para o qual a seguinte norma é finita), a norma de é definido por $L^2(\Omega)$$\Omega\subset\mathbb{R}^d$$u\in L^2(\Omega)$

  $$\|u\|_{L^2}^2 = (u,u)_{L^2} = \int_\Omega u(x)^2\,dx.$$

Tudo isso é padrão, pode ser encontrado em qualquer livro introdutório sobre análise funcional e provavelmente já é conhecido por você. Como a pergunta está marcada como estimativa de erro , você provavelmente está interessado na diferença prática em usar uma ou outra, por exemplo, para discretização de elementos finitos. Digamos que você tenha um subespaço finito-dimensional que é o intervalo de um número finito de funções . Qualquer pode ser escrito como Desde , é claro que você pode medir pelo$V_h\subset L^2(\Omega)$$\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$$u_h\in V_h$

$$u_h = \sum_{i=1}^N u_i \varphi_i. \tag{1}$$ $V_h\subset L^2(\Omega)$$u_h$$L^2$norma. Como alternativa, você pode identificar com o vetor (às vezes chamado isomorfismo de coordenadas ) e medir pela norma euclidiana de .$u_h$$\vec u:=(u_1,\dots,u_N)^T\in\mathbb{R}^N$$u_h$$\vec u$

Como as duas maneiras de medir comparam? A inserção da definição gera onde é a massa matriz com entradas . Em comparação, temos $u_h$$(1)$

$$\|u_h\|_{L^2}^2 = (u_h,u_h)_{L^2} = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N u_iu_j \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx = \vec u^T M_h \vec u,$$ $M_h\in \mathbb{R}^{N\times N}$$M_{ij} = \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx$ $$\|u_h\|_{\ell^2}^2 := \|\vec u\|_2^2 = \vec u^T \vec u.$$

As duas normas são, portanto, equivalentes, ou seja, existem constantes modo que Portanto, em princípio, você poderia usar as duas normas de forma intercambiável - se o erro chegar a zero em uma norma, ele também irá a zero na outra norma e com a mesma taxa. No entanto, nota que, enquanto as constantes e são independentes , eles dependem , e em particular sobre . Isso é importante se você deseja comparar erros de discretização para diferentes espaços com (digamos)$c_1,c_2>0$

$$c_1\|u_h\|_{\ell^2}\leq \|u_h\|_{L^2} \leq c_2 \|u\|_{\ell^2}\qquad\text{for all }u_h\in V_h.$$ $c_1$$c_2$$u_h$$V_h$$N$$V_h$$N_1<N_2$, nesse caso, você deve usar uma norma que não depende de ou , ou seja, a norma . (Você pode ver isso usando como a função constante e compare para diferente com - a primeira escala como , enquanto o último tem o mesmo valor para cada , pois a matriz de massa compensa a escala.)$N_1$$N_2$$L^2$$u_h$$u_h=1$$\|u_h\|_{\ell^2}$$N$$\|u_h\|_{L^2}$$\sqrt{N}$$N$

Há também uma terceira alternativa - intermediária -, em que a matriz de massa é aproximada por uma matriz diagonal (por exemplo, tomando como elementos diagonais de a soma da linha correspondente de ), e a norma é tomada como ; isso geralmente é chamado de massa em massa . Esta norma é também equivalente com ambos o e o norma - e, neste caso, as constantes e quando comparando e massa lumping norma que não dependem .$D_h$$D_h$$M_h$$\|u_h\|_{D}^2:=\vec u^T D_h\vec u = \sum_{i=1}^N (D_h)_{ii} u_i^2$$\ell^2$$L^2$$c_1$$c_2$$L^2$$N$

A norma 2 para sequências é denotada por . Para funções na linha real, é a notação padrão da norma 2.$\ell^2$$L^2$