Escolha da base no MEF

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Resumidamente, quais são os diferentes tipos de bases usados no MEF e por que a base nodal é tão popular e vantajosa no contexto de elementos finitos?

finite-element numerical-analysis basis-set

— kfkhalili
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As pessoas usam todos os tipos de bases na prática. Por exemplo, as pessoas usam bases ortonormais nos métodos DG para garantir que a matriz de massa nos esquemas de escalonamento no tempo seja diagonal. As pessoas também usam bases hierárquicas ao fazer a adaptabilidade porque isso torna trivial a construção de restrições nas faces em que diferentes graus polinomiais se juntam. Para métodos de ordem superior, as pessoas também usam outras construções para minimizar o número de condições da matriz. $p$

Em outras palavras, existe uma grande variedade de bases que estão em uso real. Começamos a ensinar o MEF com bases nodais porque é muito fácil de entender e porque é suficiente para a maioria dos casos.

— Wolfgang Bangerth
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As bases nodais de Lagrange são boas porque interpolam as funções nos nós: Isso significa que você pode ler e plotar soluções, observando apenas os coeficientes na representação: Isso é muito melhor do que ter que avaliar a soma em todos os momentos em que você se preocupa em conhecê- .

ϕ_{Eu} (x_{j}) = δ_{Eu j}

$\phi_i(x_j) = \delta_{ij}$

u_{j}

$u_j$

{você}_{h} (x) = \sum_{j} {você}_{j} ϕ_{j} (x)

$u_h(x) = \sum_j u_j\phi_j(x)$

u_{h}

$u_h$

— Bill Barth
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$\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{f}$

δ {você}^{T} K você = δ {você}^{T} f

$\delta \mathbf{u}^T \mathbf{K} \mathbf{u} = \delta \mathbf{u}^T \mathbf{f}$

K u

$\mathbf{K} \mathbf{u}$

f

$\mathbf{f}$

u

$\mathbf{u}$

f

$\mathbf{f}$

Os primeiros desenvolvimentos do MEF foram impulsionados principalmente por aplicações de engenharia, e a intuição de forças pontuais aplicadas nos nós foi muito importante para a difusão do método.

— Stefano M
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Há uma variedade de bases diferentes no FEM, mas a maioria envolve funções de base associadas a entidades topológicas, como vértices, arestas, faces e interiores de elementos. Isso possibilita impor vários tipos de continuidade, garantindo que os graus de liberdade para essas funções correspondam aos vértices / arestas / faces compartilhadas.

Essas funções básicas também podem ser definidas de maneira hierárquica (defina funções 1D, combine-as em funções 2D, misture funções 2D em 3D, etc.). Bases definidas dessa maneira podem ser usadas para expor a escassez ou garantir outras propriedades matemáticas, embora sua construção seja mais envolvida.

Bases nodais são uma maneira mais simples de definir tais funções, desde que um número apropriado de nós seja colocado nos vértices, arestas, faces e interior de um elemento. A continuidade pode ser imposta garantindo que dois valores nodais sejam idênticos em vértices / arestas / faces compartilhadas. Além disso, se esses nós estiverem co-localizados em pontos de quadratura, isso poderá ser explorado para uma montagem eficiente de etapas no tempo e matriz de massa em elementos quadrilaterais e hexaédricos (isso está na raiz do Método dos Elementos Espectrais ).

— Jesse Chan
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$L_2$

— Oskar Limka
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