Usos dos mapas de séries de potência

Sou do campo da física de aceleradores, especificamente relacionada a anéis de armazenamento circularpara fontes de luz síncrotron. Elétrons de alta energia circulam ao redor do anel, guiados por campos magnéticos. Os elétrons circulam bilhões de vezes e queremos prever a estabilidade. Você pode descrever o movimento dos elétrons em um ponto do anel em termos de espaço de fase (posição, espaço de momento). A cada volta do anel, a partícula retorna a uma nova posição e momento, e isso define um mapa no espaço de fase chamado "mapa de uma volta". Podemos assumir que existe um ponto fixo na origem e, portanto, ele pode ser expandido em uma série de potências. Assim, alguém quer saber sobre a estabilidade de mapas de séries de energia iterados. Há muitas perguntas difíceis sobre isso, e o tópico tem uma história antiga. Numerosas bibliotecas foram implementadas para implementar a chamada Álgebra Truncada de Séries de Potência. (Veja por exemploeste artigo sobre zlib por Y. Yan. Mais informações sobre a física e uma abordagem para a análise é a abordagem da forma normal, por exemplo, Bazzani et. al. aqui .) A questão é como usar essa biblioteca e como resolver o problema de estabilidade. A principal abordagem usada na dinâmica de feixes tem sido a análise de forma normal, que não acredito ter sido bem-sucedida. Gostaria de saber se algum tipo de método espectral foi desenvolvido em outros campos (talvez na linha de algo como isto?). Alguém pode pensar em outro domínio em que a estabilidade de longo prazo dos mapas de séries de energia iteradas com um ponto fixo na origem é analisada, para que possamos compartilhar conhecimento ou obter novas idéias? Um exemplo que conheço é o trabalho de Fishman e "Modos Aceleradores" em física atômica. Existem outros? Que outros sistemas podem ser modelados como um rotor de chute ou um mapa de Henon?

algorithms polynomials

— Boaz
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Eu acho que pode ser útil elaborar um pouco sobre sua terminologia. Por exemplo, estou familiarizado com todos os conceitos matemáticos que você mencionou, mas não consigo visualizar o que você quer dizer neste contexto com "um mapa do espaço de fase". Tenho certeza de que em seu campo específico, isso não exige explicações, mas pessoas de outras especialidades podem perceber que realmente sabem como ajudá-lo se você explicar um pouco mais o que você quer dizer.

— Colin K

Esse é um bom argumento, na verdade: como presumivelmente este site reunirá pessoas de muitas disciplinas científicas diferentes, será especialmente importante definir termos específicos de campo (ou pelo menos um link para explicações).

— David Z

Concordo, Collin e David. Obrigado pelos comentários. O espaço de fase é um espaço de posição e momento. Pense em uma posição no anel, e o elétron tem uma posição transversal e momento (velocidade). Depois de girar o anel uma vez, ele terá uma nova posição e velocidade. Então é chamado de mapa de uma volta. Se fosse linear, seria como um oscilador harmônico, que traça uma elipse no espaço de fase. Para o caso em que sua circular, o mapa teria a forma x_1 = cos (teta) x_0 + sin (teta) p_0 e p_1 = -sin (teta) x_0 + cos (teta) p_0. Isso esclarece?

— Boaz

Adicionei algumas referências à literatura em física e computação de feixes e uma definição curta de espaço de fase.

— Boaz

Aliás, fiz uma pergunta semelhante no Stack Exchange, Matemática aqui . Lá eu estava perguntando sobre soluções para a questão da estabilidade do ponto de vista matemático. Aqui, eu queria saber se o mesmo problema existe em outros assuntos científicos, já que parece um tanto geral, mas não está conectado a muito fora da dinâmica do feixe. Uma área que conheço são os modos aceleradores da física atômica. Existem outros?

— Boaz

Respostas:

Você provavelmente já sabe disso, mas parece algo do mundo da teoria do caos e dos fractais? (portanto, é computacionalmente "difícil")

Para sua pergunta, você já olhou o mundo da mecânica planetária e dos problemas do corpo N? Eles também são forçados a usar soluções iterativas, e a física subjacente fundamental é N ^ 2, embora as fontes de força também possam se movimentar também - apenas para complicar ainda mais as coisas.

Faz muito tempo desde que os observei, mas sua menção a mapas de fases de estabilidade se parece muito com o Henon Maps. Tenho certeza de que elas devem ter aplicações mais amplas, mas geralmente são descritas em termos de estabilidade planetária (por exemplo, a estabilidade de uma segunda lua em um sistema planeta-lua).

— winwaed
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Sim, o mapa de Henon é exatamente o tipo de coisa que temos na dinâmica do feixe do acelerador. O problema com a analogia com o problema do corpo N é que o espaço é muito maior lá. O "espaço de fase" é de dimensão 6xN, enquanto que para a partícula única em um anel de armazenamento é de apenas 6 dimensões no caso geral. Estou curioso sobre o que outros domínios acabam com algo como um mapa de Henon para modelar a dinâmica. Ao longo da rota da teoria do caos, pensei em investigar a teoria da dinâmica populacional também. Obrigado pela resposta.

— Boaz

Você pode observar o comportamento assintótico de sistemas dinâmicos discretos . Existe uma rica literatura teórica sobre esse tópico em matemática e mais literatura aplicada em física e ciência da computação.

— MRocklin
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Obrigado Mrocklin. Examinei um pouco a literatura geral e não encontrei uma solução, ou talvez fosse muito matemática, e não encontrei o mesmo problema colocado de uma maneira que eu pudesse entender.

— Boaz

Aqui estão algumas perguntas deste campo: (1) Você forma órbitas - ou seja, após várias iterações, você volta ao mesmo local? (2) Seu sistema é sensível a pequenas perturbações - ou seja, se iniciarmos um estado um pouco fora do seu estado inicial, ele terminará em um local totalmente diferente? (3) Alguns tipos de perturbações agem descontroladamente enquanto outros são mansos? Fornecer respostas para esses tipos de perguntas pode fornecer algumas dicas sobre as propriedades do seu sistema físico.

— 30911 MRocklin

(1) Perto da origem, a dinâmica é estável e forma órbitas fechadas. Indo além, às vezes encontramos outras ilhas de estabilidade. E ainda mais longe, a dinâmica é instável, ou seja, ilimitada. (2) Alguns aspectos são sensíveis e outros não. As órbitas estáveis não são tão sensíveis a qualquer tipo de perturbação. (3) As perturbações geralmente agem periodicamente com alguma frequência. Algumas frequências causam ressonâncias que podem alterar drasticamente a dinâmica, mesmo em pequenas perturbações. Mas saber antecipadamente quais frequências são perigosas não é bem compreendido.

— Boaz

Pode ser útil examinar os métodos do modelo de Taylor; este parece ser um bom artigo de visão geral. Tente se o COSY infinito puder fazer o que você quiser.

— Erik P.
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Obrigado Erik. Sim, eu estou um pouco familiarizado com o infinito aconchegante. O artigo ao qual você vincula parece útil para uma visão geral dos métodos de uso de séries de potência para calcular diferentes funções e encontrar limites para erros, etc. Porém, minha pergunta é sobre quais sistemas (além de anéis de armazenamento circular) podem ser modelados por séries de potência e como se resolve a região de estabilidade. Eu não acho que métodos normais de forma possam fazê-lo, por exemplo. Tem sido um tema influente na dinâmica dos feixes, mas não vejo que tenha resolvido o problema.

— Boaz