Resolvendo ODE singular não linear com SciPy odeint / ODEPACK

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Quero resolver a equação isotérmica de Lane-Emden [PDF, eq. 15.2.9]

\frac{d^{2} ψ}{d ξ^{2}} + \frac{2}{ξ} \frac{d ψ}{d ξ} = e^{- ψ}

$\frac{d^2 \!\psi}{d \xi^2} + \frac{2}{\xi} \frac{d \psi}{d \xi} = e^{-\psi}$

com as condições iniciais

ψ (ξ = 0) = 0 {\frac{d ψ}{d ξ} |}_{ξ = 0} = 0

$\psi(\xi = 0) = 0 \quad \left.\frac{d\psi}{d \xi}\right|_{\xi = 0} = 0$

usando SciPyodeint() , mas, como pode ser visto, a equação é singular na origem. A documentação afirma que usa ODEPACK.

Eu já conheço a série de potências da solução em um bairro de ( ref ): $\xi = 0$

ψ (ξ) ≃ \frac{ξ^{2}}{6} - \frac{ξ^{4}}{120} + \frac{ξ^{6}}{1890}

$\psi(\xi) \simeq \frac{\xi^2}{6} - \frac{\xi^4}{120} + \frac{\xi^6}{1890}$

Tentei configurar tcrita np.array([0.0]), mas não funcionou: eu recebo um aviso sobre valores inválidos e, em seguida, a minha solução é tudo NaN. Devo integrar a partir de 0,01, talvez? Ou existe alguma outra solução?

python ode

— astrojuanlu
fonte

Observe que tudo funciona bem se eu começar a integrar a partir de . Eu só quero ter certeza de que não há outra maneira.

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

— astrojuanlu

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Parece haver alguns problemas com sua formulação. Não conheço essa equação, então pesquisei no Google e só vim com a equação "Lane" -Emden, que é um pouco diferente. Além disso, você quis dizer que seus derivados estavam em relação a ou ?

ξ

$\xi$

t

$t$

— Bill Barth

@ BillBarth, você estava certo, houve erros, eu quis dizer . Também adicionei uma referência à equação, tirada de um curso Stellar Structure and Evolution ( www2.astro.psu.edu/users/rbc/astro534.html ) na Universidade Estadual da Pensilvânia (a lição Polytropes). É a equação 15.2.9.

ξ

$\xi$

— astrojuanlu

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Tudo bem, essa resposta é um tiro no escuro, mas aqui vai.

Primeiro, transforme o ODE de segunda ordem em um sistema de dois ODEs. Deixei

\begin{aligned} φ_{1} & = ψ, \\ φ_{2} & = \dot{ψ}, \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{1} &= \psi, \\ \varphi_{2} &= \dot{\psi}, \end{align}$

onde os pontos no topo das funções correspondem à diferenciação em relação à variável independente (neste caso, ). $\xi$

Em seguida, a ODE implícita de segunda ordem

\begin{aligned} \ddot{ψ} (ξ) + 2 ξ^{- 1} \dot{ψ} (ξ) & = e^{- ψ (ξ)} \\ ψ (0) & = 0 \\ \dot{ψ} (0) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{\psi}(\xi) + 2\xi^{-1}\dot{\psi}(\xi) &= e^{-\psi(\xi)} \\ \psi(0) &= 0 \\ \dot{\psi}(0) &= 0 \end{align}$

pode ser expresso como o ODE explícito de primeira ordem

\begin{aligned} {\dot{φ}}_{1} (ξ) & = φ_{2} (ξ) \\ {\dot{φ}}_{2} (ξ) & = - 2 ξ^{- 1} φ_{2} (ξ) + e^{- φ_{1} (ξ)} \\ φ_{1} (0) & = 0 \\ φ_{2} (0) & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\varphi}_{1}(\xi) &= \varphi_{2}(\xi) \\ \dot{\varphi}_{2}(\xi) &= -2\xi^{-1}\varphi_{2}(\xi) + e^{-\varphi_{1}(\xi)} \\ \varphi_{1}(0) &= 0 \\ \varphi_{2}(0) &= 0. \end{align}$

A princípio, parece que não podemos avaliar o lado direito desse sistema ODE explícito em , como exige um integrador numérico. Se existe uma solução para esse sistema, ele deve ser diferenciável. Supondo que exista uma solução, considere o limite do lado direito como . $\xi = 0$ $\xi \rightarrow 0$

Primeiro, sabemos que

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} φ_{2} (ξ) = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} \varphi_{2}(\xi) = 0, \end{align}$

porque assumimos que existe uma solução, então é diferenciável, o que significa que deve ser contínuo. O limite de uma função contínua em um ponto é o seu valor nesse ponto, e sabemos o valor de porque é uma condição inicial. $\varphi_{2}$ $\varphi_2(0)$

Também sabemos que

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} e^{- φ_{1} (ξ)} = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} e^{-\varphi_{1}(\xi)} = 1 \end{align}$

por razões semelhantes; assumimos que é diferenciável, por isso é contínuo e porque é uma condição inicial. $\varphi_{1}$ $\varphi_{1}(0) = 0$

Finalmente,

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} \frac{- 2 φ_{2} (ξ)}{ξ} = lim_{ξ \to 0} - 2 {\dot{φ}}_{2} (ξ), \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} \frac{-2\varphi_{2}(\xi)}{\xi} = \lim_{\xi \rightarrow 0} -2\dot{\varphi}_{2}(\xi), \end{align}$

usando a regra de L'Hôpital no formulário indeterminado . $0/0$

Para prosseguir, precisamos fazer outra suposição: é contínuo em . Então segue-se que $\dot{\varphi}_{2}$ $\xi = 0$

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} - 2 {\dot{φ}}_{2} (ξ) = - 2 \dot{φ_{2}} (0) . \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} -2\dot{\varphi}_{2}(\xi) = -2\dot{\varphi_{2}}(0). \end{align}$

Revisitando a ODE de primeira ordem e avaliando o lado direito em , podemos ver que temos: $\xi = 0$

\begin{aligned} {\dot{φ}}_{1} (0) = 0 \\ {\dot{φ}}_{2} (0) = - 2 {\dot{φ}}_{2} (0) + 1, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\varphi}_{1}(0) = 0 \\ \dot{\varphi}_{2}(0) = -2\dot{\varphi}_{2}(0) + 1, \end{align}$

a partir do qual se segue que . $\dot{\varphi}_{2}(0) = 1/3$

Usando esta análise, você pode conectar uma ifinstrução que retorne esses valores da função do lado direito em , o que deve levar você além da singularidade. Dito isto, essa análise requer algumas suposições sobre a continuidade que podem ou não se sustentar; portanto, tome a solução resultante com um grão de sal. $\xi = 0$

— Geoff Oxberry
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Geoff, talvez você quis dizer e ? Acrescentei à minha resposta que já conheço a série de potências da solução na origem (talvez eu devesse ter feito isso antes). De qualquer forma, você mostrou que , que é o caso. Vou tentar a coisa da afirmação.

φ_{1} = ψ

$\varphi_1 = \psi$

φ_{2} = \dot{ψ}

$\varphi_2 = \dot{\psi}$

\ddot{ψ} (0) = 1 / 3

$\ddot{\psi}(0) = 1 / 3$ if

— astrojuanlu

@ Juanlu001: Boa ligação; Corrigi o erro.

— Geoff Oxberry

Você estava certo! Era tão simples quanto uma ifcláusula simples . Obrigado!

— astrojuanlu

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Se você quiser mais opções para o seu solucionador de ODE, consulte o pacote Assimulo que implementa as ligações ao pacote CVODE (e o RADAU e alguns integradores simples para esse assunto).

— GertVdE
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Pacote muito valioso, não sabia! Muito obrigado.

— astrojuanlu

@GertVdE: Algum desses integradores seria capaz de lidar com a singularidade sem recorrer ao uso de uma ifinstrução para preencher o limite adequado do lado direito como ?

ξ \to 0

$\xi \rightarrow 0$

— Geoff Oxberry

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@ GeoffOxberry: Eu acredito que o solucionador IDA da suíte Sundials (que Assimulo usa para Python) permite procurar um valor inicial consistente a partir do palpite do usuário. Isso permitiria que Juanlu001 iniciasse na expansão de sua série como palpite inicial e deixasse a IDA resolver o IV correto (numericamente, isto é).

— GertVdE