Resolvendo dois problemas inversos com a mesma solução

Eu tenho dois problemas inversos,

A_{1} x = b_{1} A_{2} x = b_{2}

$A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2$

Até agora, eu os resolvi de forma independente usando a Regularização de Tikhonov e obtive duas estimativas para . No entanto, no meu caso, representa a mesma solução em ambas as equações. É possível fazer uma solução 'simultânea'? Idealmente, eu encontraria a resposta para $x$ $x$

min (‖ A_{1} x - b_{1} ‖^{2} + ‖ A_{2} x - b_{2} ‖^{2} + ‖ Γ x ‖^{2})

$\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + \lVert\Gamma x\lVert^2 \right)$

Onde $\Gamma = \alpha ~ I$ e $I$ é a matriz de identidade como na Regularização de Tikhonov (também conhecida como regressão de cume). Suponho que eu poderia apenas tomar a média das duas soluções, imaginando se existe uma maneira mais estatisticamente poderosa de abordar isso.

linear-algebra numerical-analysis inverse-problem

— abnowack
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Qual é a precisão relativa das medidas em e ? Pode ser necessário escalar para ajustar isso. Todas as medidas são independentes? A correlação pode complicar as coisas.

b_{1}

$b_{1}$

b_{2}

$b_{2}$

— precisa

No momento, está tudo modelado, então eu conheço e perfeitamente, mas, na prática, conhecerei com talvez 10x mais precisão. No entanto, nesta etapa, quero assumir que os conheço igualmente e que são independentes.

b_{1}

$b_1$

b_{2}

$b_2$

b_{1}

$b_1$

— abnowack

Então, qual é a sua pergunta aqui? É fácil resolver o problema dos mínimos quadrados de três termos que você forneceu na sua pergunta.

— 22716 Brian Borchers

É isso? Se você explicar em uma resposta, marcarei como correta. Eu apenas uso rotinas básicas como o resolvedor de mínimos quadrados de numpy . Eu não sou do CS, então poderia estar perdendo algo óbvio.

— precisa saber é o seguinte

Você pode escrever seu problema como

$\min \| Fm - g \|_{2}^{2}$

Onde

$F=\left[ \begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \alpha I \\ \end{array} \right]$

$g=\left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right].$

Você pode usar o resolvedor de mínimos quadrados linear que deseja resolver esse problema.

— Brian Borchers
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