Convergência não monotônica no problema de ponto fixo


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fundo

Estou resolvendo uma variante da equação de Ornstein-Zernike da teoria dos líquidos. Abstratamente, o problema pode ser representado como a solução do problema de ponto fixo , onde A é um operador integro-algébrico ec ( r ) é a função de solução (a função de correlação direta de OZ). Estou resolvendo pela iteração Picard, onde forneço uma solução de teste inicial c 0 ( r ) e giro novas soluções de teste pelo esquema c j + 1 = α (Ac(r)=c(r)UMAc(r)c0(r) onde α é um parâmetro ajustável que controla a mistura de c e A c usada na próxima solução de teste. Para esta discussão, vamos supor que o valor de α não seja importante. I Repita até a iteração converge para dentro de uma tolerância desejada, ε : Δ j + 1 d r | c j + 1 ( r ) - c

cj+1=α(Acj)+(1α)cj ,
αcAcαϵ Na minha variante do problema, A depende de um parâmetro λ , e minha pergunta é sobre como a convergência de A c = c depende desse parâmetro.
Δj+1dr|cj+1(r)cj(r)|<ϵ .
AλAc=c

Para uma ampla faixa de valores para , o esquema de iteração acima converge exponencialmente rapidamente. No entanto, à medida que diminuo λ , chego a um regime no qual a convergência é não monotônica, mostrada abaixo. λλinício de convergência não monótona

Questões-chave

Em soluções iterativas para problemas de ponto fixo, a convergência não monotônica tem algum significado especial? Isso indica que meu esquema iterativo está à beira da instabilidade? Mais importante , a convergência não monótona deve me fazer suspeitar que a solução "convergida" não seja uma boa solução para o problema de ponto fixo?

Respostas:


1

xx=f(x)xfx(x)αα<1x

  1. λ

  2. Se sua solução convergiu dentro de uma tolerância relativa adequadamente estabelecida, que também responde por pequenos números, ela também ocorreu.


Você pode esclarecer seu segundo ponto?
Endulum 9/17

|xj+1xj||xj|ϵϵ
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